Notice sur les travaux scientifiques de Henri Lebesgue.

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pour tous les domaines dont l'ordre de connexion est fini, quelle que soit la naturede leurs frontie'res, et Mm~re pour beaucoup de dornaines ayant une infinite' de frontie'res. Les valeurs donne'-s 'a la frontiere doivent etre continues, mais peutvent etre
d'ailleu rs quelconques; si ces valeu rs Z.,(x, y) sont repre'sente'es par des points (x, y, z)
de l'espace, les donne'es, frontie'res du domaine et valeurs aux frontie'res, sont reprnfsente'es par une figure de l'espace, par une so~rte de contour gauche 17. Ce que 1'on
doit entendre par des contours 17, F.,. tendant uniforme'ment vers 1F est
tre's clair et permet d'indiquer ce que l'on entend par uine convergence uniforme
des donne'es de proble'mes de Dirichiet D,, D,. vers celles d'un proble'me D;
j'ai montre' que, dans ces conditions, les solutions de D,, D 2......tendent uni-,
formenment vers ceiles de D. Ii faut remarquer que ce' the'ore'nme de convergence est
tre's general, car D peut parfaitement avoir un ordre de connexion diffhrent de ceux
de DI~D,, D..
L'avantage de cette me'thode, c'est qu'elle ne ne'cessite pas une e'tude spe'ciale de
ce qui se passe an contour, comme c'est le cas dans la plupart des resolutions du
proble'me de Dirichiet. Si ion consent 'a faire une telte kude, on- pen t employer,.
pour ef'ectner I et III, les autres proce'des que j'ai do~nne's, en particulier le suivant,
dans lequel. on n'effectue pas 'a proprement parler 1'opefration I et qui, par suite,
s elloigne quelque pen. de la forme habituelle de la mie~thode directe. Grace a un raisonnemetit de M. Hilbert, convenablement complete', j'ai put prouver [59] que deux
suites minimisantes ne pouvaient converger uniforme'menit dans un domaine par —
tiel, si petit qu'it soit, sans converger -vers la ne'me limite dans ce domaine partiel.
De's lors, partant d'une suite niinimisante f,, f,. Ynodifions chaque f, dans
uti cercie C de manie're qu'elle reste continue et devienne harrmonique dans C. De
cette suite, il n'y a plus de difficiilt' 'a extraire une suite partielle ayant une lirnite
dans un cercie C, inte'ieur 'a C. Cette limite, ne'essairement harmonique, est un
ellment de la solution dn problen'me de. Dirichiet, qui est dedinie ainsi par de tels.
elements 'a la faqon d'une fonction de variable complexe.
Pour l'etude aux frontie'res, je me suis servi [581 de ce que j'ai appele' des fonctions barrie'res. Soient D un domaine, F sa frontiere, f(x, y) les valeurs donne'es
sur elle, A un point de F. Soient y (x, y) et f,(x, y) deux fonctions harmoniques
dans D, 6'gales en A 'af et telles qu'en tout autre point de F on ait
cDet sont deux fonctions barrie'res en A. On pent e'videmment assu-jettir les fonc —
tions des suites minimisantes 'a rester comprises entre zet,e t par suite, si elles.
out une linmite, cette limite est continue en A et y prend bien la valeur donne'. Or,
il est jacile de construir-e des fonclions barri-ie'es en tin point A powr une fonction con —