Notice sur les travaux scientifiques de Henri Lebesgue.

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aces questions avant de lire M. Hilbert, que je me snis laisse' en.traliner par mon
penchant ~naturel Ai presenter les raisonnements sous un aspect ge'ome'trique; j'ajoute.
que je dois beaucoup, presque tout, 'a e'~tude des tra-vaux de M. 1-ilbert. La me'tfode
directe d'Xrzela et de M. Hilbert conmporte trois operations. Suipposons qu'il s'agisse
de trou-ver le minimum d'uue fonctionnelle de ligne on de surface UP)(S)
I. On choisira des etlements S1 S2,.. ayant un element limite 11 et tels.
que.1)S.....S2)tendent v ers la borne infe'rieure /n des (I)(S)
II. On demon trera que I(1)() - n;
III. On montrera que E fournit bien unie solutions de l'~qua Lion dilfehrentielle on
aux de'ive'es partielles du calcul des -variations.
Cette me'thode n'a pui etre employee comple'tement que dans un petit non-ibre de
cas. Tout re'cemnment, Al. Tonelli. vient, cependant de montrer qu'elle pent etre
appliqnue' lorsque (1b(S) est, une integrale simple correspondant 'a cc qu'on appelle
un proble'me re'gulier.
Daus sa premiere communication, la seule dont j'a-urai 'a m'occiiper, M. Hilbert
n'tudie que l'op'ration I; it effectue cette opera tion, comme l'avait eff'ectuLiee Arzela',
en utilisant la notion de fonctions e'galemnent con tinues due Ai Ascoli et qui a, depuis,
joue, nn ro'le si important dans les tra-vaux de AM1. Fre'chet et surtout dans ceux de
M. Moutld. C'est bien la me'me me'thode que j'ai utili'see, mais en lui donnant le
pins so-Luvent nn aspect ge'ome'trique, 'variable avec le probleme iCtudie' L'ide'e est
touj ours celle-ci:des S,, S,.,situ's dans tine rc'gion borne'e de l'espace, out
necessairement an momns un element lirnite, si Lout pent atlirmer que tonte partie
d'un Si est contenue dans, -Lne portion de l'espace dont le plus grand diame'tre f(E)
tend -vers zero avec s., de's que I'on sail qne la frontiere de cet Si est elle-me'me
contenue dans une portion de l'espace dont le pins grand diame'tre est E. Par
exemple, j'ai prouve l'existeuce de la surface minimisante Y pour le proble'me de
Plateau en remarqunat que, dans cc proble'me, on pent prendre pour les Si des
surfaces polye'drales tedles que toute partie d'une de ces surfaces, lim~ite'e par un
contour F, soit inte'rieure 'a toute surface convexe qui entonre 1'.
M. Hlilbert ne s'occupe pas de 1'ope'ration II; ii se borne 'a affirmer que tout
probleme du calcul des -variations a des solutions pourvu que la notion de solution
reqoive une extension convenable. On pent, en effet, toujours convenir que (F(') M.
Mais, porqu'il n'Y ait pas M~ un simple escamotage, it faut tout au momns que, si la
fonctiOn (F(S) e'tait ante'rieurement dd'iuie pour 1ele'~ment Y2, cette ancienne de'finition et la nouvelle concordent bien.
Pour qu'on soit assure', a pr-ior-i, qu'il en est ainsi, sans avoir 'a faire inlervenir
les proprie'tes d e le'6ment iniconun Y, it faut que, pour tout element S limite d''le'ments S.,, S~,.., (F(S) soit an plus e'gale 'a la plus petite limite de la suite