Notice sur les travaux scientifiques de Henri Lebesgue.

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doimainas que V'on peut parler d'aires. II est certain de's lors que, pour que notre
d~finition de laire d'une surface soit acceptable,- il faudra nous restreindre 'a des cas
oi? la frontiere remplira une certaine condition comme dans le cas du plan. J'ai
nmontre' [81 quo si deux surfaces 5, et 5, sont quarrables, c'31est-a'-dire ont des aires
finies, et si tours frontie'res se raccordent suivant un are c (~ la surface S -Si + 5I,.a bien pour aire la Somume des ai res de Si et de 5,,, lorsquelI'arc otf peut etre enferme'
dans des surfaces polye'drales ferme'es d'aires aussi petites qu'on le vent. Je dis, dans
ce cas, que x~ est qua rrable.
C'est seulernent pour les surfaces lim~ite'es par des courbes quarrables que jet"udie
la proble'me des aires. Da cette manieire, l'aire ve'rifle bien la condition d'addivite';
ii y a accord entre la de'[inition de L'aire des domaines plans et celle de Laire des
surfaces; it y a accord entre les (leux categories de courbes quarrables planes et
gauct-es. G'nc'ralisant un re'sutat de Jordan, j'ai prouve' que toute courbe rectifiable
est quarrable.
Le minimum des int~grales f da. - II. serait presque inutile de savoir,qua Faire est additive, s'il existait des surfaces quarrables qui ne puissent pas S tre
de'composees en m-orceaux par des courbes quarrables. J'ai mnontre' qu'une surface
cjuarrable peut toujour I' tre decompos~e en rnorceaux auss-i petits quea Von veut par
des conurbes rectifiables. Une telle decomposition correspond 'a celia d'9une courbe en
palits arcs; 'a chaque petit arc est alors attachee une corde, at La Somme des longueurs
des cordes est una valcur approche' de la longueur de la courbe. Quelle est l'expression approche'e pour L'airo d'unn surface? Un contour C O'tant donne', conside'rons
des calottes polye'drales simplement connexes dont Las frontie'res tei~dent vers C, la
pins petite limite vers laquelle tendront les aires de telles calottes sera dita aile
1m1ininia de C. line surface S e'tant donne'e, si on la divise en morceaux liinit-, 'a
des contours quarrablas C.,,3 C'., la Somme des aires minima de C,, de C,.,
est una valaur approche'e da l'aire de S.
IL y a douc entie're anaLogie entre la cas das courbas at calni des surfaces. L'ktda
de cette analogie m'a conduit 'a me demander s'il nexistait pas una surface qui soil,
pou r un contLou.r C, l'analogua da cc qu'estL la corda A B pour ses axtre'lnite's A at B;
en d'autras tarmas, s'il nexiste pas uina calotta da surface simplamant- counaxa'
limite'e 'a C at dont laira soi L l'aire minima -de C. Ca problei'me est connu. sous le
nom de proble'me de Plateau, du moins quand on ad mat que la surface cherche'e est
analytique, ca qui entraine, comme l'on sait, qu.'ella soit une surface minima. Je ie.
me suis nullamant occupe' de l'anaiyticiteA de la surface solution.
Mes pramieres recherches [43] Sur ce suijat out ke faites inde'pendamment de
celles de M. Hilbert Sur ce qu'on appella maintenant la me'thode directe du calcul
des -variations; j'ignorais avoir C'to precede' par M. 1-libert, de me'ma qua ca ge'ometre
ignorait clu'il avait e'to pr'ce'de' par Arzalfi. C'est sans doute parce qua j'avais pens&"