Notice sur les travaux scientifiques de Henri Lebesgue.

-65 -surface late'rale d'un cylindre de revolution. Cet exemple est si simple qu'il a et'
retrou~ve' depuis par plusieurs Auteurs. En pr'se nce dle cette difficulte', on a adopt6'
parfois des de'finitions qui n'ont, plus aucun rapport avec la consideration des
polye'dres, qui, par suite, ne se raccordent nullement avec les considerations de la
geomArie eAlementaire et ne servent gue're qu' a s sauver la face a, permettrelde ne
pas se borner 'a d~ire rinous appelous aire telle integrale double.
XToici comment j'ai raisonne' b e proce'de pratique de mnesure des conurbes mate&.
rielles, qui a donne' lide'e de la definition mathe'matique des lonugeurs, consiste 'a
mesurer uin polygone tre's voisin de la courbe. Or, si l'on conside're les polygones
tendant vers une courbe C, leurs loingneurs tendent, snivant le choix des polygones,
vers telle limite que i'on veut, e'gale on supe'rieure "a une certaine longuener L. L est
donc la seuile -valeur attache'e 'a la consideration des polygo-tes tendant vers C. En
fait, L est pre'cise'ment eNgale 'a ce que l'on appelle la longueur de C. De's lors, on
peut adopter des definitions analogues pour la lougnueur d'une courbe et laire d'une
surface, en les conside'rant comme les plus petites limites des lognoieurs, ou aires,
des polygones, on polye'dres, tendant vers la courbe, on. surface, 'a mesurer [43, 81.
Cette definition a e'te assez communnnment adopte'e dans les recherches geuerales;
elle a N'te fort N'tudie'e, en particulier par M. Zoard de Ge6cze; elle pourrait aussi etre
introduite de's la geometri e 'lementaire, ce qui donnerait plus d'u-nite', de rigneur et
de simplicit' 'a L'exposition de tout ce qni concerne les lonugeurs, les aires et les.
volumes [631.
Pour que la ddfinition precedente soit acceptable, c'est-a'-dire donne une aire
ayant les, proprie'tes esseutielles des aires ordinaires, il faut que le nombre de'fini
posde au mons, lFaddivit' restreinte. Cornmencons par examiner le cas des domaines,
plans. Jordan, guide' par une definition descriptive de l'aire, qui est celle que M. Hadamard a formulke pour le cas des polygo-nes, determine l'aire de certains do-maines,
qu'il appelle, quar-rables; ce sont ceux dont la frontiere est de mesure nulle; l'aire
est alors la valeur commune de la mesure dn domaine ouvert et de la mesure du
domaine fermeb. II existe des domaines non quarrables, mais ceux, que connaissait
Jordan btLaient complique's.; aussi Jordan a-t-il demande', dans, l'Lnterme'diaire des
Mathb'maticiens, s'il existait un domaine simple,'limite' par une seule courbe sans
point multiple, et qui soit non quarrable. En modifiant le proce'de qui permit 'a
M. Hilbe rt de construire une courbe remplissant, un carre', j'ai obtenu uin exemple
d'une telle courbe [8]. Queique ternps aprebs, MN. Osgood est parvenu, de son co'te, N
un exemple analogue. 1I exist~e donc bien des courbes non quarrables, comme ion dit.
On pouvait se demander si le probibmne des aires e'tait possible oil non pour les
domiaines qualifie's de non quarrables; modifiant mion exemple primitif, j'eni ai
db'duit [1O] que le proble'me des aires est possible pour la fanmilte des domaines simpies, quarrables on non, mais quj'il est inde'termin&". La dbfinition descriptive ne
determine I'aire, que pou r les domaines quarrables. Cest douc bien pour ces seuls,