Notice sur les travaux scientifiques de Henri Lebesgue.

-62 -Ma conclusion a ke qu'en dehors des solutions classiques, it existe, au sens de
Zermelo, d'autres solutions, mais aucuine qui soit mesurable B, -ni rne'me mesurable.
A pen pre's 'a la merne e'poque, M. Hamet traitait des equations fonctionnetles analogu~es. Bien des Auteurs ont depuis repris ces questions.
J'ai montre' [~13] qu' il fandrait s'adresser aux fonctions non mesurables pour
de'finir une correspondance de 'Zer melo pour la famnille des ensembles de'nombrables de nombres on. me'me pour la farnille des progressions arithme'tiques 'a deux
raisons a + mnr + m, r4.
Les Ide'alistes (partisans de l'axiome) out souvent reproche' aux Empiristes
(adversaires) de nie pas Atre cohe'rents avec enx-me~mes; sans m arreter an petit jen.
qui aurait consist' 'a retourner l'argument, j'ai essaye' de bien expliquer la position
que j'avais adopte'e en niontrant quel est le sens emnpiriste precis de certaines de'fi —
nitions auxquetles on ne voulait accorder qu'un sens idealiste [1l71.
Les ensembles E [a < f <jb], E [a ~~] ~ ],ec n terminant
ce Chapitre, je voudrais signaler tou tes Les ressources que j'ai tirees de la conside'ration de ces ensembles. Ce sont eux q ui m'ont permis l'inte'gration de taut de fonctions; uls m'ont permis l'Atude des fonctions de classe tin et de classe quelconque;
its permettent de caracte'riser les fonctions de Baire; ils permettent de ramener 'a
un processus uniforme des modes de formation d'ensembtes on de fouctions, tre's,varie's en apparence, etc.
Alors que, daus -les recherches sur la the'orie des fonctions, on introduisait les
ensembles an hasard de t'imagination de chacun, en portant son attention soit sur
l'ensembte des points de -discontinuite' d'une fonction, soit sur t'ensemble des points
de convergence d'uue se're, soit sur d'auLtres ensembles encore, c'est toujours sur les
ensembles attache's 'ala fonction par tes mernes inegalite's ajjf~<,b, a-~,.f <b, etc.,
que j'ai raisonne', ce qui a donne' une grande, unite' 'a mes recherches.
IL est facile de se reudre compte, apre's coup, de l'inte'ret qu'il y avait 'a considA-_
rer ces ensembles. J'ai de'j'a dit comment t'inte'gration m'a-vait conduit 'a tenr couside'ration; t'int~gration, A'tan t une operation fonctiounetle, n'exige cependaut pas teur
consideration aussi impe'riensement que tes operations sur les nombres. Soit 'a effectner su r des fonctions les operations Vu1, it + vI itiv, log v, par exemple; alors, pen
importent les, points pour lesquels a et v deviennent A'gates A Ito et Vo, les re'sultats
des operations ne dependant que de a0 et vo. C'est donc sur tes valeurs des fouctions qu'ou est conduit 'a porter son attention; ce sont ces vateurs que t'on va
grouper par valeurs voisines et non tes vateurs des variables. Le'tude des operations
sur les fonctions rele've donc bien. des ensembles conside'res, et comnime tes fouctions de Baire sont celles qu'on obtient, 'a partir des variables, par les operations
addition, multiplication, passage 'a la limite, it A'tait naturel que ces ensembles pus —
sent servir 'a 1'A'tde des classes de Baire.