Notice sur les travaux scientifiques de Henri Lebesgue.

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Mes recherches ont e'te proloige'cs par celles, tre's importantes, de M. de la Vallee
Poussin ci de M. Sierpinski.
J'avais cru pouvoir ge'neraliser en. qiielques lignes un raisonnemeut correct et en
de'dntire qtie les fonctions obetenes en resolvant des equations dont les deux mernbres sonl des fonTction~s dc Baire sont, elles-me'mcs, des fonctions de Baire. Mais la
generalisation. en question. est irncorrecte, et le the'ore'me precedent ni'est pas denontre', coruie Font f,,Ait, observer MWN. Lusin et Souslin. Cette erretir semblait devoir
infirmer pas mal de rues conclusions, car je renvoyais pinusieurs fois 'a l'~nonce' non
justifie'; mais, en re'alite' [6], cc n'est pas stir cci C'nonce', c'cst-a'-dire snr la ge'neralisation incorrecte que je m'appiiyais, c'e'tait, seulement, sur le raisonnernent non
generalis6' qui, lui, est correct.
Cornme con-sequence des the'ore'mes generaux sur les fonctions de classe o,, j'ai pu
donner des exemples de fonctions appartenant 'a chacune des classes conques a prior-i
par M. Baire. L'existence effective de ces classes est ainsi prouve'e. J'ai Pu aussi
donner un exemple de fonction nappartentant, pas 'a la classification de M. Baire.
Ces exeruples out une valeur logique; ius Wn'ot cependant pas de valeur pratique;
cc ne sout pas des exemples nume'riques, car, par exemple, la valeur d'une de ces
fonctions pent de'pendre de la convergence on de la divergence d'une se'rie que nous
nesvons pas 'tudier. La port'e de rues exemples n'est don. a amm u el
des exemples numi'riques de fonctions des classes 1, 2, 3 do~nn's par M. Baire.
Fonctions et ensembles mesurables; Fonctions et ensembles mesurables B.Les recherches pr'ce'dentes fournissent des reuseignemnents sur 1'e'tendue de la famille
des fonctions on ensembles mesurables; j'ai, en effet, prouve que atote fonction de
Baire est mnesur-able B et r-Jcipr-oquenient. Ce re'sultat a e'te retrouvb' par M. Vitali.
D'anutre part, la fonction eAchappant 'a la classification de M. Baire qe j'a.fo rmie
est mesurable; donc il existe des fonctions et ensembles mesurables qui ne soul pas
mesurables B.
Examinons les diffbreuts proce'des de definition des fouctions. Dans tot-s, on dit:
Dans tel ensemble E de points, nous calculerons la fouction de telle manib're, algeAbrique, fonctiounelle on arithmehtiqne. Tous ces calculs se rame'nent 'a l'cmploi des
operations arithme'tiques et du passage 'a la lirnite 'a partir de fonctious ante'rienlremeut de'finies; donc ils condiuiseut, (tans chaquc ensemble, 'a des fonctions de Baire,
s'ils sont appliqtu's A partit, de fonctions de Baire. Et, si les divers ensembles E
sont mesurables B, la fonction finale est aussi mesurable B. Quant aux ensembles E,
on bien. is sont de'duits par addition on multiplication d'ensembles ante'rieurerment
de'finis, et alors, si cetix-ci sont mesurables B, ius soul mesurables B. on bien ils
sont de'duits de fonctions ante'rieurement debfinies. Or, au cours des O'tudes pr'ce'dentes, it a e'te debmontre' qun'1en de'finissant des ensembles par des eAgalite's, ou ine'galitebs comme celles quej'ai utilise'es, on par la considbration de lFensemble des points