Notice sur les travaux scientifiques de Henri Lebesgue.

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continue par rapport 'a chacune d'elles est au plus de classe it - i.Ge'neralisant nn
resultat de Ml. Volterra relatif aux fonctions de classe un, j'ai pronve [611 que toute
fonction.?(I) de classe p e'tait obtenue en faisant x, ~x......I dans
une fonction f(x,, X~. X ~)continue par rapport aux p -Vi variables dont elle
depend. Lorsque l'existence effective de toutes les classes de Baire a e'te prouvee, ii'
en est re'suilte que les de'veloppem'ents, que j'avais obtenuis pour les fonctions continues de'plusieurs variables ne pouvaient etre simplifie's.
Pour l'application du nonvel e'nonce', it est commode de savoir que, pour qu'.1un
ensemble puisse etre consider6' corume la somme d'une infinit6' de'nombrable d'ensembles fermies, it faut et il suffit qu'il soit F'ensemble des points de discontinuity'
d'une fonction.
Les fonctions repr~sentables analytiquement. - Dans un AICmoire [61} qui, lui,
merite bien d'e'tre qualifhc' d'abstrait, j'ai e'tendu les re'sultats obtenus ponr les fonelions de classe'un 'a toutes les fonctions de -Baire, c'est-a'-dire 'a toutes les fonctions,
representables analytiquement. J'ai pu gene'raliser tons les e'nonc~s:par exemple,
j'ai pu de'finir, pour tout symbole de classe, Cc, des points de con tinnite' cx et montrer
que, pour qu.'une fonction soit de classe cc an phins, il fant et it snilit qu'elle soil
ponctuellement discontinue oc sur tout ensemble parfait.
Mais beaucoup des e'nonce's obtenus, et celui que je viens de citer en particulier,
sont tri's formets, et ne prouvent gue~r6 que l'identite' de certains probl1hmes. Les
enonces les plus utiles sont cenx que j'ai obtenus en partant de la formie suivante
que j'avais donnm'e 'a la condition ne'cessaire et suffisante pour qu'une fonction f soit
an plus de classe un:ii faut que, quels que soient a et b, l'ensemble Era <f <b]
soit la somme d'une infinite' de'nombrable d'ensern-bles fermefs.
D~ans, cet efnonce interviennent deux categories inte'ressantes d'ensembles que je
vais ge'neraliser:Un ensemble sera dit F de classe oc s'il est de'fini par une ine'galite' a,4 f. b 'a laide d'nne fonction f de classe ac, sans ponvoir l'etre 'a laide
d'une fonction de classe inf~rieure; les ensembles F de classe zero sont les ensembles ferme's.
Un ensemble est dit 0 de classe cc dans les conditions analogues, l'ine'galite'
ktant maintenant a < f < b; les ensembles 0 de classe zero sont les ensembles
ouverts.
J'ai donne' des proce'des pour former les ensembles F et 0 des classes successives: par exeruple, on obtient les ensembles 0 de classe oc an plus comme somme
d'une infinite' de'nombrable d'ensemrbles de rang ac an plus; on appelle ainsi les
produits, d'une infinite' de'nombrable d'ensembles F des classes inf~rieures 'a cc. Et,
d'autre part, j'ai obtenu. des e'noncefs tels, que celui-ci:Pour qu,'nne fonction f soit
de classe ac an plus, ii faut et ii suffit que, quels que soient a et b, i'ensemble
E (a <-~f <( b) soit un ensemble F de classe cc au plus.