Notice sur les travaux scientifiques de Henri Lebesgue.

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d'elles; il suffit d'ailleurs do conside'rer la seule courbe de Peano remplissant cc
earre. Le me'me e'nonce' est vrai pour une classe quelconque;jo n'ai de'velopp6 la
deSmonstration [61] 'qu-'en la rattachanit aux recherches quo j'exposerai all paragraphe suivant.
Jo me suis demandc' si, an lieu' d'utiliser toutes los courbes, onL d'utiliser des,courbos aussi complique'os quo la courbe de Peano', on no pourrait pas no conside'er
que- des courbos assez simples. Ce probtlemo, que M. Sierpinski a repris re'cemmient,
m'a conduit 'a des re'suftats inattendus:il existe des fonctions, continues su r tout e
courbe analytique, et pourtant discontinues dans tout domaine; elles son-t repre'sontables par, des series do polynornos, naturellement non uniforme'ment conivergentes
dans Lout domaine si petit qu'it soil, et qui, pourtant, convergent uniforrue'menL sur
touto courbo analytique.
La demonstration do Ml. Bairo utilisait les nomnbres transfinis; J'ai dit [61] quo,
-do cot emploi, re'sultait un avantage; quo, la demonstration me'me donno, on qnelque
sore, n poc~A p'ratoire r~gulier pour roconnaitre Si uine fonction est onl non do
classe un ot, dans t'afirniativo, pour obtenir sa representation en. se'rie do polyno'mes.
Pourtant, il y a vait int'ret 'a justifier un C'nonce', qu-i ne suppose pas la notion de
nombre transfini, sans iutiliser cette notion; c'est ce quo j'ai fait [86],' grace surtout
a. des proce'des do raisonnetnenkts ds 'a M. Baire eim~ie et en utilisant ce quo,
j'appelle des fonctionis do classe un en un point, on. des fonictions do classo un 'aE
pres on un point, on su~r tin ensemble. Cos fonctions sont de'finies par anatogie, a-vec
cellos quoe l'on appollo dos fonctions continues en un point on. continues 'a E pres.
En mc'mo tomps, je donnais une autro, forme 'a la condition ne'cessaire et suffiisante
Pouir qa' one fonction J'soil de. classe uin aa plus, ii fautetlit saffil que le doinaine oii
eile est dWfinie puisse, quel que soil >0o, Utre considird comime la sonmrne duane infilneh' de'nomibrabie cl'ensenmbles fer-ine's sur chacun clesquels f est continue & mnois dles
pi-es.
Xp res avoir justilic' cot e'nonce' pour le cas d'une soule -variable [86], je l'ai
de'montreA dans le cas gebn ral [11]. J'ai fait voir qu_'il Atait d'un emploi facile en
IFappliquant:a) aux fonctions semi-continues, dont la definition est duLe 'a M. Ba ire;
b) aulx fonIctioTS n'ayant qu'une infinite' de'norbrable, do points de discontLinuit6;
c) aux fonctions f(x, y) continues separe'mont par rapport aux deux variables dont
elies dependent; toutes ces fonctions sont do classe un.
J'avais de'j'A donne' une demonstration tre's simple relative aux cas b) et c) dans
mon premier travail [19]. AM. Borol a insbrb' dans sOS LeQoDns sur los fonclions do
variables re'elos, uine autre dbmonstration relative an cas b) quo je lui avais comnmuniquee.
L'examon du cas c) AtLait tout i ndique', car M. Baire avait e'tudi6 sirnultane'inent les
fonctions d'une variable qui sont do classe iin et los fonctions d'une variable de'duites
des fouctions relatives'A ce cas c). J'ai nmontrA' [19] qunune fonction do n variables,