Notice sur les travaux scientifiques de Henri Lebesgue.

matioin soiul nombreuses; on sait mieme e'tablir qu'inversernent une fonction appartient 'a une certaine fam-ille de's qu'elle est susceptible d'unue approximation d'un
ordre donna'. Au. courvs de ces recherches, dues ht MM. Dunham Jackson, Serge Bernstehin de la Vallee Poussin, Paul Montel, on a souvent, fail usage de la me'thode que je
viens de rappeler et qui permet d'obtenir deux. limites de l'ordre d'approxiv-nation.
Incidemment, j'ai obtenu. une nouvelle d~rnonstralion de la convergen ce, des seSries
de Fourier des fonctions cle C... et la preuive que la condition (12-) ne saurait etre
remplace'e par une condition de convergence, relative 'a l'ordre de if (x + h) -f(x)f,
qni soil momns restrictive.
Representation des fonctions de Baire.
Les fonctions de classe un. - Les representations de. fonctions discontinues,
dont il a C'e question dans ce Chapitre, ne'taient valables qu.'exception faite des
points d'nn ensemble de mesure nulle; de sorte qu'on repre'sentait en re'alitl6, non
pas une foniction. donn~e'f(x), mais loutes les fonclions e'quivalentes 'a f(x) an point
de vue de l'inte'gratoio. Cellos dont je vais rn'occuper mainteniant sont des represen.tations an. sens ordinaire cduinot, c'est-ht-dire valables pour loutes les valeurs de la
'variable.
M. Baire appelte fonctdions (le classe z'dro, les fonctions continues; les fonctions
de classe un. sont les fonctions discontinues qjui soutlIi mites de fonctions continues;
par fonctions dle classe n, il d'sign oi toutes les ronictions qui niappart-iennlent pas aux
classes inf~rieures ' a net qui sont pourtant lini Les de suites dle fonctions appartienant
aces classes. Pour que cette classification ait, tout son ediet, il Panit admettre que it
pent etLre n.t nombre transfini.
Ml. Baire a prouve' que, poutr qun'uue fonction soil de classe un, il faut el il suffit
qu.'elle soil ponctuellement discontinue sur tout ensemble parfait; c'est-h-dire qu'elle
admette ne'cessairement des points de con tinnite' quand on ne la considere qn'aux
points d'u~n ensemble parfait, d'aille-urs q~uelconque. Dans sa The'se, M. Baire avail
dc'montre' 1'enonce' precedent pour les fonctions d'une variable et il de'clarait ne pas
savoir s'il C'tait encore exact dans le cas de plnsieurs variables. Au. lendemain de sa
The'se, j'ai. montre' que e'6nonce' de M. Baire C'tait general; ce ful lobjet de la premie're Note que j'ai presentee aux. Comptes Rend-us [41]; pen de temps apre's, M. Baire
simplifia et modifia sa demonstration primitive, cc qui la rendit applicable an cas.
general.
Le proce'de qne j'ai employe' repose essentiellemernt stir l'ernploi des courbes,
telles que celles de Peano et d'Hilbert, qui rem plissent tout ina domaine. Pouir quinne
fonction soil de classe nn, dans uin carre' par exemple, il faut et il suffit qu.'elle soit
de classe un an plus sur tou le courbe du carre' et effecli vement de classe un sur l'une
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