Notice sur les travaux scientifiques de Henri Lebesgue.

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mais que la puissance de representation de ces series allait bien au dela' de ceq'ils en-visageaient. A cette occasion, j'ai d'montre' ~21] que toute fonction continue
de x et de y peut Atre repre'sente'e par une se'rie viniformernent convergente de
series de polyno'mes en z. Ce re'sultat 6'tait assez inattendn pour que M. Lerch lFait
cru fux et ait icte caioevoys un article au. BulIletin des Sciences mathdmatiques. Pourtant, comme je l'ai fa-it observer, certainies formules e'tranges, dues
a Seidel, convenablement interpre'tees, fournissaient un re'sultat 'a peu pres, equivalent.
Des e'tudes generales sur les series convergentes de polyno'mes en z, faites par
M. Osgood et par M. Moutel, it re'sulte d'ailleurs que les de'veloppemnents qute j'31ai
trouve's sont les plus simples possibles; les series doubles qui y figurent ne peuvent.
pas e'tre rermplace'es par des sieries simples.
Ordre de lapproximation d'une fonction Qontinue par un polyn~me ou une
suite finie de Fourier. - AM. Landau a fait connaitre uine integrale singulie're particulie'remenit propre 'a la demonostration du- the'ore'nme de Weierstrass, parce que sa
valeuir est toujours un polynorne. A. cette occasion [74], j'ai attire' I'atteution sur leproble'me suiivant: On saiL, depuis Weierstrass, que toute fonction continue peut e'tre
repriesente'e de facon approche'e par des polyno'mes; il conviendrait de fixer l'ordre
de l'approximatiort possible avec des polyno'rues de degre' donne' n, quand on sait,
par exemple, que f(x) satisfait 'a la condition de Lipschitz
M. de la Vallee Poussin. s'e'tait pose' de son cote' la me'me question; penl apr'sma Note, it a commence' la se'rie des publications fondamentales qu'il a donne'es sur,
ce sujet.
J'ai precise' ensuite la question [1], en montrant qu'il e'tait ne'cessaire de connaltre quelqne chose sur la variation de f(x); que si l'on ne connaissait, par exemple,;
que le module maximum M de f(x), le proble'me n'anrait pas de sens. Dans ce
cas, en effet, quel que soit le degre' choisi mn, on pourra trouver une fonction continue f(x) diff~rant de tous les polynomes de degre' m de plus de M - E, quelquepetit qu'ait etc choisi E. On pent dire plus:Pour chaque fouction f (x), la meilleure
approximation E,,,[f(X)] obtenue avec des poynmes de degre' in tend vers zero
avec -;rais son ordre infinitesimnal ne pent e'tre fixe'
J'ai beaucoup insist6' sur la difl~rence essentielle entre les deux aspects de la
question que je -viens, d'envisager:Conside'rons, par exemple, les fonctions satisfatisant 'a l'inc'galite' (io), elies constituent cc que j'appelle la classe C'. Si f(x) est
une fonction de cette classe et si on conside~re eplnm de degr~ u arp