Notice sur les travaux scientifiques de Henri Lebesgue.

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nit une 6valuation de's que l'on connait le module M de f (x). Cette 'valuatLion est de
la forme M 24(n), les nombres op1(n) restant, borne's quel. que soiL n.
Dans les cas analogutes 'a celni des series de Fourier, p nIa pas un signe constant;
so t{ude se faiL grace au second th'or'rne de la moyenne, dU A Ossian Bonnet, qui,
sous Fhypothe'se que f(xc) soit 'a 'variation bortii'e, donne l'evaluation, permettant de
concinre 'a la convergence du de'veloppement, ktidie', eii fonction de la -variation totale
de J'. L'emploi dui premier the'ore'me tie la moyenne aurait doanna iMp(n) avec des
nombres e(nz) grandissan t inde'finimient avecf
IL y a donc deiux categories d'inte'grales singulie'res 'a eAudier:celles a noyau,
positif, justiciables du premier the'ore'me de la moyenne eL celles qui rele'vent du
second the'ore'me, quie l'oni etudie seules ordinairement. Je dois dire cependant que
le cas des integrales du premier type avait ktA signale' par' U. Dini; mnais le the'oreme
quil avait donne' etait rest' sans application.
La courte Note [74] dans laquelle j'ai fait ces re-marqnes a suscite' plusieurs travaux. M. Hobson a cherche' de's conditions suffisantes pour l'existence de certains
de'veloppements; M. IHaar a obtenu des conditions pour que des de'veloppements en
serie de fonctions orthogonales soient tous convergents on pour qu'il en existe de
divergents.
J'ai de'veloppe' mes propres Lravanx dans un M~e'noire assez volumineux [11;
je mae suis propose' la recherche des conditions necessaires et sujfsantes poar que Ii'ntegraile c.,(t - x, n) f (t) dt, dans laquelie y~z n) est donnde, tende vers f (x) en tous
les points de continuite de f(x), et cela ponr chacuine des cinq classes de foncti~ons
suivantes r i classe des fonctions sommables; 20 classe des fonctions de carre' sommable; 30 classe des fonctions borne'es et sommables; 40 classe des fonctions n'ayant
qne des points de dis~continnite' de premiiure espe'ce; 50 classe des fonictions 'a -variation borne'e.
Les conditions obtenues, bien que relativement simples et maniables, ne penuvent
e'tre reprodnites ici. D'apre~s ce que j'ai dit sur la parente' des problernes consistant
a e'tudier la convergence vers zero dn_ 1nime, reste d'une se're de Fourier et celte des
fliemes coefficients d'une telle se'ne, on ne sera pas O'tonne' que les conditions de'finitives
de'rivent, de celles sons lesquelles les inte'grales pr'ce'dentes tendraient vers zero.
Pourvu que les conditions requises soient remplies uniforme'ment, la convergence
vers f(x) est uniforme 'a l'inte'rienr de tout intervalle de continuitA'. Si ce sont senlement les conditions relatives 'a la 5c classe conside'ree qui sorit remplies, it existe des
fonctions f continues pour lesqueltes le de'veloppement, trouvA' esL divergent; ii en
existe anssi pour lesquelles le de'veloppernent converge, mais not] uniformenment.
M,,oyennant qnelqnes conditions snpple'mentaires, pen restrictives pratiquement,
les noyaux qni conviennent anx trois premieres classes de fonctions founrissent des
de'veloppement's qui convergent presqnie partouL. C'est la proprie'tA pr'ce'demment