Notice sur les travaux scientifiques de Henri Lebesgue.

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loppemnents exacts on asyrmptotiques des constantes p(n). Pour l'instant, it suffit de
savoir que p(n) graudit indffinimnent avec ri et qu'it existe des fonctions continues,
dont la se'rie de Fourier converge uniforme'ment, et pour lesquelles cependant, en
certains points, 5)J difVre de AM p(n) d'aussi pen qulon le ven't.
Ceci kant, ayant pris une fonction f1de module an plus e'gal 'a i, pouIr laquelle
S,, I atteigne tine valeu r supe'rieure 'a i, on prend ra n., assez grand pour que I S,,,(f4)tI.soit auissi petit que l'on vent et qu'il existe f',, de module au plus CSgale a - pour
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laquelle IS,,(f,)l surpasse 2 en certains points. On prendra ensuite n,. assez grand
pour qu e ISn3(f4 + f) soit aussi p~etit que l'on, vent et qu'il existe f, de, module an
plus e'gal -s pour laquelle lSnj,,f,)I surpasse 3, etc. -Les sommies SH pour la fonction,
contiue f~+ f I. atteignent des valeurs sup'rieu~res ' tont nombre donna;
snivant le choix des fla se'rie de Fourier de f divergera on. convergera mais, en ce
cas, non uniforme'ment.
On rattache ainsi t'existence des series divergentes 'a ce simple fait que le module
maximum des S, pent grandir inde'finimnent avec n et, en ne~me temps, on prouve
l'existence de fonctions continues, dont la se'rie de Fourier converge, mnais -non
uniformeiment. Cette seconde singularite' est freiqnemmnent de'sign~e' sons le nom de
singularite' de Lebesgne a). Elte a ithi ktudie'e depuis surtont par Ml. Feje'r et par
M. Steinhans.
be principal inte'ret de cette faQon d'examiner la convergence on. la divergence,
c'est qu-'elle s'applique imm'diatemnent 'a d'autres s' eries; nons le verrons dans un
instant.
Sommation des s~ries de Fourier. — Pnisqu'il existe' des suiries de Flourier divergentes, it y avait lien de rechtercher un procuich de soumi-ation qni permette de
remonter de la se'rie 'a la fonction. Cette question a CW resolue par Ml. FKejcir pour les
fouctions continues. La solution qu'il en a clounme est aussi simple et aussi. heu reuse
que possible, puisqu'il a prouve' qn'il suffisait de s'adresser. an plus imme'diat de
tons les proce'des de sommation des se'ries divergentes, 'a celui de Ce'saro, qui utilise
les moyeunes arithme'tiques. Je me suis demande' Si le muerne proce'de ne re'ussirait
pas pour toutes les series de Fourier. J'ai de'montre' [65] que la premie're des deux
conditions, qui figurent dans I'e'nonc6' general de convergence du paragraphe pr'c&'dent, suffit pour que les moyennes de Ce'saro convergent vers la fonction en general;
le proce'de de Ml. Feje'r re'ussit (lone presque partout, et, en particulier, aux points
de continuite' et aux points re'gnliers de la fonction.
Ce re'snltat re'sout le proble'me de la sonimation des series de Fourier aussi. entie'rement que possible; deux fonctions qui ne ditVerent qu'aux points d'un ensemble
de miesure nulte 'out, en effet, la me'me se'rie de Fourier; tine telle se'rie ne pent donc
determiner la fonction qui lni a donne' naissance que tont an moins exception faite

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