Notice sur les travaux scientifiques de Henri Lebesgue.

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d line part, que i'on pent multiplier Los series do Fourier do denx fonctions borne'es
en operant comrne dans le cas o\' elles no compronnent qu'un nombre fini de termes; d'autre part, quo l'on pent inte'grer torme 'a terme uine se'rie de Fourier quolcorique, la se'rie obteniie est uniformierment convergento. Ce dernier re'sultat ge'ne'alise un e'nonce' de M. de la Valleo Poussin relatif aux fonctionis inte'grablos par la
me thode de LRiemann.
Convergence des series de Fourier. - L'e'tude do la convergence do ces serios
s'impose d'auitant plus quo ce sont, d'apr's cequ p 'de, les soulos propres 'a la
representation dos fonctions. Dans cette etude, on no doit pas so restreindre 'a la
classo des fonctions inte'grables au Sons do Rioranan, car ii existo dos fonctions non
inte'grables do cotte rnanieire pour lesquelles la se'rie do Fourier est partout convorgente; jo I'ai prouve' par tin exemple [4]. An rosto, on n'obtiendrait aucune simplification on rostroignant la classe des series do Fourier envisage'es.
L'ide'e qui m'a. guide' dans LYetude do la convergence ost la suivante: la diff~rence
ontro la mi~11e somme d'u-no se'ri do Fourier et la fonction f(x) ost
(x 2 )+f (X - 21t) - 2f (X>)
(9) ~ sin (2M + I)1tJX~ 1 dt;
c'est donc uine integrate tout 'a fait analogue aux integralos a, et b,,; merno, dans
cortains cas, ollo ost effectivement uno combinaison do telles inte'grales. En giiniral,
dile ost pourtant do nature plus complique'e, parco quo, le plus souivont, la fonction
entro crochets, quo je de'signe par }(),nest pas somnmable an voisinago do 1 o.
C'est pour avoir des cas do convergence do R,,, ver s zero [4] quo j'ai e'tudie' la convergence do a,, et b,, vers zero, on gene'ralisant un re'sultat do Riemann, comme jo l'ai
dit aun paragrapho precedent. En comparant ce raisonnement do Riemann et coux
par lesquels Dirichiet et Lipschitz prouvent la convergence des series do Fourier,
raisonnoments tre's diffhrents on apparonco, j'ai remarqun6 quo tons ces Auteurs
de'cornposaient i'intervaill d'inte'gration en dos intervalles dans lesquels sin mt on
sin (211n -4 i)tI conserve un. signe constant, et quo, l'inte'grale 'a e'tudier devenant alors
a0+ a,+1 u+., c'est ie grou pemont dos termes doux 'a deux, (au-+- ia) + (il,+ u.,)
qui fournit uno valour assez approche'e pour quo l'ou puisso conciure. J'ai donc utilise' s-yste'matiquement ce groupomont [65], et cola. rn'a conduit, en quelques Lignes,
it un enonce qui comprend comme cas particulior tous ceux quo i'on connaissait
la serie de Four-ier de f(x) converge aut point x vers la fnction si l'integr-ale de
If(T + 21) +f(X - 2/) - 2f (x) I, en tant que fonction de t, a une ddrive'e nulle pourt o, et si la qatantite'
tend vers z~ro avec 'O.