Notice sur les travaux scientifiques de Henri Lebesgue.

CHAPITRE Ii

REPRESENTATION DES FONCTIONS
Dants ce chapitre, j'ai re'uni celles de mes recherches qui se rattachent, 'a trois
su~jets diff-rents, mais ce' endant assez intimement lie's les ulls aux autres:series
trigonome'triques, app roxi ma Lion des fonctions continues, representation des fouctions de Baire.
Series trigonome'triques.
SMries de Fourier. - On appelle se'rie de Fourier d'une fonction fAx) la se'rie
-ao + )~(a,, cos nix A- bl, sin nix),.2
dans laquelle on a
f XI dx.
Cette, ddfinition a une porut'e qui varie avec, le sens donn6 au symbole d'inte'gration; pour faire une application de l'inte'grale des fonctions sommables, j'ai e'udie'
[4, 51, 52, 65, 87] les series de -Fourier qni en re'sultent. J'ai aussi considered le cas
oi~les integrales seraieut, d'finies 'a l'aide des int'grales ind'finies, par L'enploi des
formules (2q') et (8), les points en lesquels la fonction f(x) cesse, d'e'tre sommable
formant, un ensemble re'ductible; j'ai appele' les series correspondantes des series de
Fourier ge'neralise'es, re'servant, le riom de series de Fourier 'a celles qui souti relatives
aux fonctions sommables.
Tontes les, etudes qui oait porte' sur les s~ries tino rqesse groupent en
deux categories. recherches des series trigonome'triques propres 'a la representation
d'une fonction donne'e recherches stir la convergence on la divergence des series
de Fourier et utilisation de ces series. J'ai aborde' ces deux ordres de prob1e'mes.
Riemann, le premier, s'est, demande' quelles e'taient les series propres 'a la repre'sentation d'une, fonction doanine; utilisant ses re'sultats, Dm1i, Ascoli et Du BoisRe'ymond out montre" que, dans le cas des fonctious borne'es inte'grables an sens