Notice sur les travaux scientifiques de Henri Lebesgue.

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quelques precautions supple'mentaires permettent de traiter le cas de <.,x) discontinue et d'obtenir dans tous les cas l'expression precedente avec une integrate ordinaire dans le second membre.
Cette forrunle pent L tre prise comntie definition des int.6grales de Stieltje's portant
sur les fonctions f, 1101 con tinues rnais sommables, et j'en ai- de'duit une extension
des fonctionnelles line'aires 'a toutes les fonctions sommables.
En c'nonqant ces re'siiltats, j'ai dli qu'il serait tre's difficile de les obtenir sans
l'emploi du changement de variable quii m'a servi. Mon allirmation a vite C'te infirrn'e par les travaux, tre's beaux et tre's simples, de MM. NV. HI. Young, Radon et
de la YVallee Poussin. Ces deux derniers Auteurs, se placant au point de vue des
fonctions de domnaine et d'ensemble, out monlre' que L'on d~fittit les integrales de
Stieltje's, quel que soit le nombre des variables, en rempla~aut dans, tes definitions
des integrales de fonctions continues on de fonctions sommables donne'es plus haul
la consideration de la mesure par celle d'nne autre fonction d'eusemble. M. W. HI.
Young avait utilis6 d'une facon analogue une definition de L'inte'grale qu'il a donne'e.,
Je viens, de m'Iapercevoir que j'a-vais employe' [44, 87] le proce'de de MM. Radon
et de la Vallee Poussin, de's ma The'se, poor le cas particulier des inie'grales JAfP)da,
oui da est I'clement d'aire d'une, surface, sans, bien entendu, -en deviner la portiee
generate. J'indiqnais en me~me temps un antre proce'de qni, graice 'a e'6nonice dn paragraphe pre'c6dent, convient dans Ions les, cas; iA ge'neralise celui que j'ai employe'
pour les, fonctions d'une variable. Comme Iui, iH repose sur l'emploi d'une transformation ponctuelle pour la simplification de la fonction par rapport 'a laquelle on
in tegre.