Notice sur les travaux scientifiques de Henri Lebesgue.

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Jo ne dirai qute qnLelques mots des recherches assez longues auxquelles m'a conduit
le de'veloppement de la theorie. IL y avait lien d'e'ttdier les fonctions 'a variation
born~e' non absolument continues; les questions 'a trai-ter son't assez nombi'euses. On
peut rechercher, par exemple, si, dans ce cas, il -y a encore les me'mes relations entre
les fonctions de point, de domaine et d'ensernble; cette question a ktS tre's henreusement traite~e par M. Radon et surtontA par M. de la Valle'e Poussin. Pour moi, je
me snis attache' 'a e'~tude de la structure des fonctions h 'variation borne'e; partant
d'une, fonctioii de point, "'A variation borne'e, je l'ai decompos~e en trois constituants
nettemnent caracte'rise's; une fonction des sauts on des discontinuite's attache'e 'a nne
infinite' de'nomnbrable de-valeurs pour chaque, variable; une, fonction des singularite's
qui est attache'e 'a u!] ensemble de mesure nulle et qui a Hiie (lerive'e nulle presque partout; enfin. uno fonction absoiunment, continue [51.
Voici d'ailleurs un re'sultat, non encore ptiblih', qui pre'cise la nature des fonctionls
les plus generates 'a variation, born~ee par iine transformation ponctuelle pre'alable,
on penit tonjours faire disparaitLre la foncotion des singularite's. Toutte fonction. a variation borne'e et continue pent donc, gr~ace 'a uric telle transform-lation, s'exprimer par
uine integrale inde'finie.
On peut aussi e'tudier la derivation partielle des inte'-rales inde'finies exprime'es
'a l'aide des coordonne'es; j'ai montre' que, pour le ca's de deux variables par exemple,
les de'rive'es F'x(x, y), -F,, (x, y), F",,,(x, y) existent presque partout et que la notion.
de diflehrentielle totale penit anssi eftre utilise'e presque partout. Pour de'montrer l'existence de F"xy(x, y), j'avais dUi modifier la definition ordinaire en disant que, pour le
calcul de cette de'rive'e en un point, on ne tiendrait pas compte des points d'nn certain
ensemble de mesure nulle; MAM. Tonelli et Fubini ont leve' cette restriction.
Int~grale de Stieltj~s. - Cette integrale avait e'e inv\eiatee par Stiellje's pour la
sorumation de series divergen tes. Depuis, elle ni'avait re~u ancnne application -vraiment, nouvelle, quand M. F. Riesz, eU i909, mnontra qu'elte permiettait, la representitation de toutes les foiictionnelles line'aires. A, cette occasion [56], j'ai donne' le
moyon de transformier uno inte'grale de Stieltje's fxdo.x]en uno integrate
de fonction. sommable. Le proce'de est des plus simples; it repose suir l'idee utilisSee
dans le paragraphe precedent: iino transformation potictielto convenablo permet de,
simplifier la nature des fonc6tios 'a variation bornke et, par' exempie, do los tranlsformer en fonctions 'a nombre derive's borne's, donc presq-,ue partont de'rivables. Ici,
par oxemtple, supposant (x(x) continue, j'exprirnie x et o,(x) en fonction de l'arc s de
la courbe rectifiable y ~,x(x) conmine j e l'ai tonjours fait dans la consideration des
courbes rectifiables [85], et ceci donne
2ff(x)d[oc(x)] f [c(s)i oc (s) ds;