Notice sur les travaux scientifiques de Henri Lebesgue.

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il suffit de s'appuyer sur le fait que la courbe y -f (x) est la limite des polygones
qui lui sonl inscrits. On arrive ensuite 'a la notion d'inte'grale debfinie en queleques
mots.
Pour le calcul direct des fonctions primitives, sans l'iuterme'diaire de l'inte'gralion, j'ai encore prouve' cne le passage aux fonctions primitives pent se faire terme
t erme pour une suite de fonctions de'rive'es f',, tendant vers une fonction de'ri-vee fP
dans les deux cas suivants:la suite est uni-formicnent convergente, on la suite est
croissante. Ces proce'des permettent d'obtenir des fonictions primitives de fonctions
discon tinues; on peut alors, grace 'a la formule (8) prise comrue definition, en de'duire
des integrales. J'ai quelque pen e'tudie'ce mode d'inte'gration, que j'ai nomme' l'int'-.
gration. au sens de Duhbamel et Serret [ 85].
A l'occasion de ces recherches sur les fonctions primitives, j'ai don nub des de'monstrations nouvelles des propribtbes, que j'ai parfois complebtees, des de'rive'es et des
nombres d(brive's.
La derivation des fonctions d'une variable et l'int6grale ind~finie des fonctions
d'une variable. - Con trai rement 'a ce que j'avais fail jusque-iaN comme consequence
des remarquies de'veloppe'es N propos de l'intebgration, des fonctions continues, J'ai,
danis le paragraphe precedent, traite' spebcialement des fonctiorns d'une \variable; il en
sera de meme dans ce paragraphe et les terrmes intebgrale indebfinie seront pris au
senis classique de 1e'galitb' (i').
Les re'sultats expose's conduisen t Na se poser la question suivante: une fonetionf (x)
ayant en tout point tine de'lrivee finie Oil anl noinbre deirive Jini, quand pent-on afjirmer
que cette delrive'e ont ce nomnbre deirivd est sonmmable? J'ai prouve qu'il en b'tait ainsi'
si J'(x) est Na -variation borne'e et seulement dans ce cas [8]. Je rappetle que cela signitie,
que, pour loule diviio e l'intervatle considbreb en morceaux (xi, xi-,),L o
I f(xi) -f(xi)J est inf'rieure 'a un nombre fixe.
L'examen approfondi de cette proposition nm'a permis de protiver que: tou/c mindgrate inde'Jinie admet pour ddrivee la Jonction inte'gre'e presque par-tout, c'est-a&-dire
exception faite an plas des points d'un ensemble de miestare nalle [85, 75, 76]. De toutes
les propositions auxquelles je suis Arrive', c'est certainiement celle-ci qui s'est montre'c
la plus febconde. Elte rrf'a d'abord conduit 'a cet autre re'sultat t oulefonction a' var~iation bornde admnet tine dedrive'e pr-esque partout, et cette ddr~ive'e est somrnabte. En parliculier, u ne fonction satisfaisant 'a la condition bien counue de Lipschitz admel
presque partout iine de'rive'e borne'e; on s'ex\plique ainsi que ces fonclions inter —
'viennent dans tant de questions. De trebs nomnbreuses con sequences en out ktA dbduites
et main tenant, en debpit de t'existence de fonctions n.'ayanl de de'rive'e en aucun point,
il est bien des questions dans. lesquelles on panle sans crainte de la debrive'e des fonc-.
tions trebs gebnerales qn'on y rencon-tre. Parmi les gbonebtres qui. out donne' de non —