Notice sur les travaux scientifiques de Henri Lebesgue.

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autre oi'i la de'rive'e f'Qx) est borue'e et par suite sommable, dans tout intervalte il
en existe un autre oift 1'on connalit f(x) 'a une conistante additive pre's quand on se
donne f'(x). Mais, pour raccorder dans tons les cas les divers morceaux ainsi
connus de la courbe y -f(x), il a ke' ne'cessahre de recourir 'a une profonde analyse, qui est due tout entie're 'a M. Arnaud Denjoy. Je suis fier de lui avoir, ainsi que~M. Baire, fourni certains 61ements essentiels de cette an~alyse. Pour moi, je rm'etais
borne 'a signaler deux cas oi'i le raccordement est immediat, celui oiui les points
n'appartenant pas aux intervalles dans lesquels f(x) est connue 'a une constante
pres formient un ensemble reductible, et celui of'ilus forment un ensemble sur lequel
f'(x) est sommable. En examinant maintenant l'ensemble de mes recherches et en
les comparant 'a celles de M. Denjoy, je puis dire que j'ai e'tudie' les utilisations de
l'inte'grale des fonctions sommables, Landis que M. Denjoy, examinant un proble~me
(recherche des fonctions primitives on. recherche des series trigonome'triques), s'est
propos6 e le soudre entie'rement en cre'ant uin ontil approprie'. L'int'gration des
fonctions sommables est un outil puissant parce pie simple et pre't 'a de -multiples
usages; les proce'des d'inte'gration de M. Denjoy sont puissants parce qu'exactement
adapte's chacun 'a un but special; on rencontre ici la me'me diff~rence qu'entre la
sommation des series absolument convergentes, si maniable, si facilement ge'neralisable an cas des series 'a plusienrs indices, et la somination des series semi.-convergentes on. me'me divergentes pour lesquelles le proce'de 'a employer doit variery avec
le but 'a obtenir. En lisant attentivement ce Chapitre, le Lecteur reconnai~tra que, soit
pour le cas d'une seule -variable, soiL pour le cas de plusieurs, il y a quantite' de
questions pour lesquelles la notion d'inte'grale de fonction sommable ne suffit pas
et dont la solution comple'te exigerait l'emploi des proce'des de M. Denjoy on. de
procedWs tre's analogues.
M. Lusin s'est aussi occupe' de la recherche generate des fonctions primitives.
Du Bois Reymond et Dini out ge'neralise' la notion de de'rive'e par l'introdnction
des nombres derives; ainsi que divers autres Ge'ome'tres, tels que Scheeffer et
M. Volterra, its out e'tudie le retour inverse d'un nombre derive' 'a la fonction primitive. L'e6galite' (8) reste -vraie si on remplace f'(x) par un nombre derive' borne' on
non, mais partont fini et, de plus, sommable. Les nombres derive's e'tant des fouctions mesurables [8, 75, 5], on a ainsi, en particulier, re'solu le retour inverse dans
le cas de s nombres derive's finis.
Dans un autre ordre d'ide'es plus e'lementaires, je me snis occupe' de de'duire une
definition de l'inte'grale des fonctions continues de la notion de fonction primitive,
ce qni serait conforme an mode de calcul ordinaire des integrales. Seulement, dans
les expose's ordinaires, il faut passer par l'inte'grale pour de'montrer l'existence de la
fonction primitive. Dans certains cours, la notion d'inte'grale de'finie ne sert qu'?a
cette demonstration. J'ai m-ontre' comment L'on ponvait tre's simplement pronver,cette existence directement [85]; re-venant sur la question [22], j'ai simplific' encore;