Notice sur les travaux scientifiques de Henri Lebesgue.

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necessairement naissance 'a des fonctions f(x, y0,), pour y, constant, mesurables enl
tant pie fonctions de x seul. D'oA la nc'cessite' de coruipliquer la formule. Cependant
la formule subsiste si f (x, y) est bornmie et si tons les ensembles que Ion rencontre.
sont mesu rabies B, auquel cas je dis que f(x, y) est mesurable B. Je 1'ai e'tablie,
d~s ma The'se, dans cette hypothese. M1. Fubini L'a form ule& sot-s la forme e'legante
et commode suivainte: tant donne'e une fonction sommnable, il existe toujours unefonction mesu rable B qui n'en diffhre qu'aux points d'un ensemble, de mesure nulle.
et pour laquelle la formule precedente est vraie. M. Fubini a justifi6' eeL e~nonce' pour
toutes les fonctions sommables, borne'es on non.. Sur ce stijet, il faut auissi citer des
travaux fort inte'ressants de MM. Lichstensteiu et de M. de la Yalle' Poussin.
La formule e'tablie est inte'ressante auissi an point de viue de la mesure des ensembles: elle permet d'e'valuer les mesures superficielles 'a partir des mesures lineaires,
comme lorsqu'il s'agit de l'aire des domaines.
Derivation. Integration inde'finie des fonctions discontinues.
La recherche des fonctions primitives. - La de'riv'e J'Qx) d'une fonction continue derivable f(x) est (lefiflie par 1'e'galite'.
f'(x) - li., pour h tendant vers zero, (1de x+I) fx
h
f'(ic) est donc la limite d'une suite de fonctions continues; f'(x) est mesurable. Si,.
de plus, f'(x) est borne'e, les fonctions continues du second muembre sont borne'es
(lans leur ensemble et l'on peuit inte'grer terme 'a terme la suite precedente; 1'e'galite'
quon obtient ainsi s>S'crit
(8) f (x) zf (a) A- ff'(x)dx;
elle re'sout le pr'oble'ie de la r-echer-che (les fonctions primitives pouir toitles les foinctions d~irive'es bouien'es. Bien que ce re'sultat de'passe extraordinairement, je puis le
dire, ce qui avait e'te trouve' auparavant, il est obtenu plhs simplernent, d'un trait
de plume, grace an pouvoir siruplificateur du the'ormeni fondamenetal sur Ilinte'gration. des suites.
Apre's avoir obtemn ce re'sultat [46, 8], j'ai prou-vc [81 que lc'galite' pr'cerdente e'1ait
exacde dans lotts les cas otd f'(x) est somi~nable.
-Comme, d'apre's un tlheorerne de M1. Baire, dans tout initervalle il en existe un