Notice sur les travaux scientifiques de Henri Lebesgue.

- 37 -

Pour le cas des fonctions non borne'es, j'ai donne' cette proposition Liane suite
conver~qente de fonctions sommabtes, toutes infiriecures en module 'a aiie fonction soinmable, a tine limite sommable et est inhegrable teu-ine 'a terine [14]. On en de'duit ce cas
particulier:si des fonctions sommnables j;,, tendent en croissant vers uine fonclion f,
in suite est integrable term-e 4I terme, quand f esi sommable. Cette proposition ge'ne&
ralise la proprietetb 6o du proble'me de l'inte'gration; elle a e'te' trb's heureusement'
completbe' par M-. B. Le'vi. Cet auteur a observe' que si les integr-ales des f~ont une
limitejinie, f est sonimable.
Ces propositions reposent stir uine proprie'te trebs simple d'une suite de fonctions
mesurables fl convergeant 'vers f l 'enseinble des points en lesquels laune des diffrrences I-f,, Iest sape'rieare a'& donne' posiiif, a ane inestare qtti tend vers ze'ro,
quand n croit [8, 49]. Cette proprikt4 a fte' le point de depart de rectierches de
M. Egoroff sur la nature des suites convergentes. On a remuarque' aussi que cette
proprie'tb pouvait Atre vraie pour des snites telles que les f,, ne convergen~t pas partout vers f, et on l'a prlse, ainsi que d'autres plus on. moins analoguLes, comme
definitions de certaines catbgories de suites qui ne sonl pas vrairnent, convergentes
mais qui, into'grb'es, dounent des suites convergentes; telle est la n otion si importante de convergence en moyenne due 'a M. Fischer. Je ne puis quitter cette quest~ion de l'intebgration des suites 'a laquelle se rapportent, taut de Mebmoires inte'ressants, sans citer an momns le nom. de M. Vitali.
Tons les theborebmes servant, dans 'A-nalyse classique, an calcul des integrales
debfinies ont b'tb P'rolonge's, sonventr sans modification ancune, au cas des fonctions
sommables. Pour ne pas trop 'allonger ce paragraphe, je me bornerai 'a dire que,
pour le cas d'une vNariable, l'intebgration par parties et le premier the'orebme de la
mo-Yenne s'obtieuuent sans auicune recherche, que j'ai b'tudie' I'into'gration par substitution qni a fait aussi l'objet de travaux de M. de la Vallee Poussin, qne AL. H-obson
et moi avons, indebpendamment, etendu le second the'orebme de la moyenne, que
c'est, surtout M. F. Riesz qui a utilise', et sons des formes extre'mement ge'neralis'es,
l'inebgalite' de Schwarz. Enfin, j'ai e'tendu [5] tons les m-odes de calcul qni resultent
de ces propositions aux fonctions de plusieurs variables, y compris celui qni provient dn second the'ore'me de la moyenne leqluel, 'a ma connaissance, n-' avait jamais
C'te appliqub' qu'aux integrales simples. MI. Tonelli avait, poutr le cas de plusieurs
variables, utilise' une formule d'intebgration par parties quelquie pen diffe'rente de
celle que j',ai e'tablie ensuite.
Pour le calcul des integrales multiples, it est nebcessaire d'b'tablir l'analogne de la
formule classique
ff (x, y) dx dy f f,Ydxj dy.

Une diflicnlteb se pre'sente:c'est qunuee fouction f(x, y) in-esurable ne donne pas