Notice sur les travaux scientifiques de Henri Lebesgue.

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que j~appelle les ensembles mesurables 13. J'ai ktA le premier 'a prouver logiquement
La possibilite' de mesurer les ensembles inesurables B ci j'ai inon.IrA l'etendue ei par
suite limportance de cette familic d'enseinbles. De plus, j'ai Atudi6 le probl'me de
la mesure poutn le cas du plan et des espaces a un nombre quelconque de dimensions en Atendant tonutes les notions i~ntroduites dans le cas de la droite, en particuhier celle d'enseinible mesurable 11.
On a aussi parfois associA' mon nom a celni de MI. -Borel 'a loccasion de cc the'oreme si des intervalics couvrent tout (a, b), certains d'enlre eux, en nombre
fnsuffisent 'a couvrir (a, b). MI. IBorel iia-vait A'noncA' son the'or'me que pour nne
famille de'non-yhrable d'intervalles, je i'ai A'noncA' ci prouvA' sans cette restriction.
J'ai dit ailicturs [23] qne les demonstrations et les ge'neralisations de ce tbe'ore'me
A'taient faciles, que le seul progre's vr-ainteut notable A tail d'a-voir apercu et eAnonceA ce
the'orenme sonLs l'une de ses forrues. Ce progre's est dil 'a NI. Borel seui. Ensuite,
M., Schmenfliess a eu le me'rice de montrer que ce the'ore'me Altait la base g~ome'trique
des demonstrations de l'uniformnitA' de la continni-te et d'autres demonstrations
d'uniformitA'. De cc fait, il donnait an the'orehne de NI. Borel la meine extension que
je Lui ai dounnee un penu plus tard. M~on role, modeste, se re'duit 'a avoir construit
l'une des demonstrations dii the'ore'ine general et 'a L'avoir Atendu an cas de plusieurs ditnensions.
Les ensembles de points ne sont pas les seuis pour lesquels on puisse se poser le
proble'me de Ia'mesure; on penLt aussi se proposer de mesurer des ensembles de
droites, de plans, par exemple. En fait, de tels ensembles avaient AtA mesures, surtout en vue de proble'mes de probabilite's ge'om~triques; mais on s'eAtait borne' aux
ensembles qui sont les analogues des domaines. simples; les mesureg son l alors
des integrales qul sont caracte'rise'es par le fail d'e'tre invar iantes par rapport an
groupe des monvements. NI. Carlan a determineA syste'matiquemient ces in-variants
inte~graux.
En exposant des re'sultats dn ge'ometre auglais Crofton [69], j'ai montrA' comment L'on pouvait passer de la connaissance de la mesure pour ces ensembles spAciaux 'a la connaissance de la mesure dans le cas general. Le procedA' est te ni'me
que lorsqu'il s'agil de passer de Ilaire d'un domaine 'a la mesure d'un ensemble.
Les fonctions mesurables et les fonctions sommables. - Pour que la de'finition.
de linte'grale s'appliqne 'a une fonction f(x), ii faut quc, quels que soicnt a et b,
l'ensemble soil mesurable. J'ai monkIrA qu'il snihisail quc cette condition fMt remplie
par- a ci b rationnels et qu'eltc A'tail, de's lors, remnplie toujours; on penut d'ailleurs
remplacer la relation entire cr~ochets par bien d'antres f(x) < a; f(x)- a;
a <f(x) <Ab; etc., on uc cessera pas d'avoir~ des ensembles mnesur-ables. Les fonclions ayanl ces proprie'tes sont dites inesuirables. Toute fonclion mesuritable born~ee
aune inte'grale.