Notice sur les travaux scientifiques de Henri Lebesgue.

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On dit souvent que les definitions sont libres. Certes, pourtant aucun mathbematicien ne consentirait a appeler integrale un nombre ne jouissant pas de certaines
proprietes particulierement imnportantes et simples de l'integrale des fonctiorns
continues; 6noncer ces proprietes c'est, si elles sont en normbre suffisant pour determiner l'integrale, donner une definition descriptive de l'integrale. I1 reste ensuite i
l'utiliser pour obtenir un proc6de de calcul, une definition constructive de l'integrale.
J'ai employe cette methode non seulement pour l'integrale, mais pour la mesure des
ensembles et dans bien d'autres circonstances; elle m'a ete suggere par la lecture
de la these de M. Drach et de l'lntrodu-ction h la theorie des nombres et (a 'Algebre
superieure qu'il a publi6e en collaboration avec M. Borel, d'apres des lecons de
J. Tannery. Je tiens T dire ici toute l'influence que les idees de M. Drach ont eu sur
les miennes. Posterieurement aux recherches de M. Drach, M. Hilbert a utilise les
definitions descriptives dans ses etudes sur les fondements de la geometrie.
Voici la definition descriptive que j'ai donnee [851: l'integrale d'une fonclion
bornee f(x), definie dans tn intervalle fitli (a, b), est un, nombre Jini Jf (x)dx,
jotissant des proplrietes sutivantes:
I" Quels que soient a1, b, h, on a
rb rI+h
Jf(x x) dx f ( + h)dx;
a' Quels que soient a, b, c, on a:.f(x)ldx + J'(x) dx + / /(x) dx=o;
3 Qtuels que soient f(x) et?(x), on a:
b rb r b
[f(x) +, (x)] dx - l j(x) dx + J (x)dxt;
4~ Si l'on af> oo et b >a, on a:
rb
J f(x)dx > o;
5t) i X d;. = I;
/o
6~ Si f;L(x) tend en croissant vers f(x), I'intedgrale de f,(x) tend vers celle de J(x).
Tandis que les deux definitions precedentes montraient que la nouvelle notion
d'integrale est naturelle, cellc-ci montre qu'elle est necessaire et non arbitraire. Des