Notice sur les travaux scientifiques de Henri Lebesgue.

29 -

Integration definie des fonctions discontinues.
Int6grale definie. - Des les premiers temps du calcul infinitesimral, on s' tait
apercu que les procedes de calcul, exacts ou approchets, d'une int'grale conservaient
un sens pour certaines fonctions discontinues ct que le nombre ainsi obteTn continuait a posseder les principales proprietes de l'irntegrale. Pendant longtemps, en ce
qui concerne l'integration des fonctions discontinues, on s'est bornm' preciser les
remarques qui s'etaient aitisi offertes d'elles-nmemes. Riemann presente enlcore ses
recherches comme une simple mise au point de ce qui est connu. Au reste, l'attention etait beaucoup plus attiree vers la consideration des fonctions qui ne cessaient
d'etre continues seulement en devenant infinies que vers la consideration des fonctions discontinues bornees qui sont bien plus maniables; c'est seulement pour les
fonctions non bornees quc F'on s'ingeniait a trouver des procedes d'integration; je
citerai, entre bien d'autres, les travaux de Jordan et de oM. de la Vallee Poussin.
Soitf(x) une fonction bornee, formons pour elle la quantite Ef(c) (xi-) -- x) =S.
Si, dans chaque intervalle x.i_ - xi, f(x) prend des valeurs peu difftrentes les unes
des autres, S variera peu quand on fera varier i on quand on subdivisera les intervalles x i - x t; c'est sur cette remarque qu'cst basee la dmnonstration tres simple
de la convergence de S vers une limite, quand f est continue. Cette demonstration
subsistera 6videmment si f, sans etre continue, est telle qu'en prenant des intervalles assez petits on puisse arriver a n'avoir que peu de ces iltervalles dans lesquelles f variera de faQon notable. Par exemple, si f n'a qu'un point de discontinuite,
il n'y aura qu'un intervalle of \f variera beaucoup, celui contenant le point de discontinuite.
La theorie de l'integration au sens de Riemann n'est que le dclveloppement de
cette observation. Or, que l'on considere les fonctions derivees quelconques, les
fonctions representables par une serie trigonomretrique, les fonctions auxquelles se
reduit sur le cercle de convergence la partie reelle d'une fonction analytique, etc.,
on obtient des fonctions qui ne sont pas necessairement integrables au sens de
Riemann. Aucune des categories de fonctions auxquelles l'analyse conduit naturellement n'est justiciable du procede de Riemann; c'est pourquoi ce procede, qui a eu
un role philosophique considerable, n'a eu cependant aucune utilisation mathenmatique.
Que le procede considere, c'est-t-dire le procede d'ilntgration des fonctions continues, ne s'applique pas a des classes assez vastes de fonctions discontinues pour etre
pratiquement utile, cela provient de ce qu'il fait essentiellement appel a la propriete
de continuite. Si J(x) est continue, il est bien certain que, si.i doit varier dans un
tres petit intervalle (xi, xi ), f/() variera peu, puisque c'est la la d6finition meme