Notice sur les travaux scientifiques de Henri Lebesgue.

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tive m's, c'est chercher la limite des sommes V m',f(Pi). Celte integrale est dite de
Stieltjes, sauf si m' est la mlesure ordinaire, auquel cas il s'agit d'une ititegrale ordinaire.
La notion d'integrale de Stieltjes s'etend alors d'elle-meme aux fonctions continues de plusieurs variables; cette extension a ete faite tout d'abord par M. Frechet,
gr`ace a un procede different que celui que je viens d'indiquer; MM. Radon et de la
Vallee Poussin ont au contraiore employe ce procede. On voit que l'integrale de
Stieltjes comprend comme cas particuliers non seulement les integrales ordinaires,
mais aussi les intgrrales curvilignes et de surface
J(x, y, z)dc, /f (xc, y, z)dxdy,
pour lesquelles nm', gale d'utne part x,i -xX, d'autre palt / / dxdy. Cette notion, etndiee al debut des cours de calcul integral, apporterait une grande simplification dans l'exposition.
Si generale qu'elle soit, la notion d'integrale de Stieltjes pent etre ge6nralisee
encore; AIM. Hellinger et Radon out 6tudi6 des modes d'integration qui rentrent
dans celui, que je crois aussi gnleral que possible, qui serait defini par la consideration des somnies de la forme
f'(PI Qi,....; Ii, i.....),
les P, (Q..... etan t des points pris (lans un des domaines partiels DI) mi, I.',.....
etant les valeurs, pour D, dle fonctions de dlomaine donnees; pour que la liirite exisle,
difftrentes conditions seraient ne(cessaires; il faut, en particulier, qle f soit homogene et de degre un par rapport a l'ensemble des mi, in ', m"i...... Ces integrales
n'ont pas encore ete tudiies sos leur forme generale, mais on connait depuis longtemps des grandeurs exprimees par de telles integrales; par exemple, la longueur
d'une courbe ou l'aire d'lne surface,
\/dx' + dy' + dz, f f \/(dxdy)` + (dz + (dzx

rentrent dans la forme pr6cedente avec trois fonctions de domaine m, im', in".