Notice sur les travaux scientifiques de Henri Lebesgue.

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qui s'est manifcstee d'aborcd, avec Bobillier, par l'introduction (d'e'quations condensees, ensiuite par lemploi des invariants, puis par l'utilisation de plus en plus frequente des vecteurs et du calcul diff6rentiel absolu. C'est la tendance a etudier les
questions de geometrie ct de rmecauique plus directement que ne le permet l'emploi
des coordonrn'es.
La consid6ration de (I(D) se justifie encore par cette observation:. si, particularisant les domaines consideres, on ne conserve, dans le cas du plan, par exemple,
que les domaines D lini tes par une courbe frontiire C, une fonction de domaine, (D)
est une fonction W(C) de la courbe C, (I(D) W(C). Les fonctions de donlaine
rentrent done dans la classe des fonctions (de ligne introduites dars la Science par
M. Volterra. Les travaux de ce savant, ceux de M. I-adamard, et ceux de leurs 6e1ves
ont rnontre le grand interet de ces fonctions, notamment dans le calcul des variations. L'op6ration de derivation (4) est d'ailleurs bien la derivation de AJI(C) par la
methode de le. Volterra.
Mais nos fonctions de domaine sont des fonctions de ligne tres particulieres. Si, en
cffet, le domaine I) est forme par la reunion des domaines D,I, D.), e,....., exterieur s les ns aux autres, on a pour toute ilnterale indtlinie, ou pour' oute grandeur
physique ayant pour' support geomeitrique le corps D,
(5) I (1)) = (D1)() +.T (D) +.....
Je dis, pour cette raison, que la fonction I)(D) est additive. Du point de v-re physique, la division de D en corps partiels n'a de sens que si ces corps sont en nombre
fini; mathlematiqueltent, nous pouvons, an contraire, en application de l'idee citee
de NI. Borel, supposer que les Di forment une infinite denombrable. Ainsi entendue,
l'egalite (5) reste vraie pour les integrales indefinies; ce que nous exprimerons, avec
MI. de la Vallee Poussin, en disant qu'elles possedent ladditivite complete et non
pas seulement l'additivite restreinte. On peut aussi admettre que les grandeurs de
la physique possedent toute l'additivite complete; car il suflit pour cela qu'elles possedent l'additivite restreinte et un certain genre de continuite qu'on ne saurait
refuser aux grandeurs physiques.
Nous verrons que ce ne sont pas seulemnent les integrales indefinies des fonctions
continues qui possedent l'additivite complete, mais aussi toutes les integrales indefinies et l'on pent dire que le resultat final des recherches sur l'integration et la
derivation est que lotte tonctio(l de domaine, possedant les proprietes que nous reconnaissons aulx grandeturs physiques, petl eltre consideree conmme unle integracle inde'inie.
A chacune de ces fonctions de domaine 4(D) on pent, au lmoen d'une opCration
definie par la relation (4) convenablement interpretee, attacher une fonclionl de
point f(P), definissant une sorte de grandeur derivee. Ainsi l'egalite,I =- integrale indefinie de f,