Notice sur les travaux scientifiques de Henri Lebesgue.

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Lorsque les dlomaines D sont les intervalles d'une droite, on a la (lefinitiol ordi-iaire doe la de'rivee; (fans bous les cas, celtte sorte de (lerivatLion est l'ope'ration inv~erse
de 1 integuration des fonction~s continues.
Representation des int~grales ind~finies. - 11 Pent paraitre surprenan t que, les
fonctions de domaine s'inkroduisant en physique pins priinitiiveinent me~me que los
fonctions d —e point, ce Solent cependant ces derniiires seules qui aient ke conside'rees.
C'est que les fondate-urs de l'analyse e'taient habitue's 'a m-anlier des expressions alge&briques. Or, bien c.tue Yon n'ait jarnais entie'remnent confondn fonction et expressiolt,
pie la distinction entre ces notions soient, an fond do bien des questions son~eve'es
au cours de la longue querelle des cordes vibrantes, qn'elle apparaisse, 1m1cme avant
JDescartes, da-ns la separation des courbes en mecaniques et ge'onietriques, ce n'.est
pie vers la fin du dix-neuvie'me si~c'ce qn'on s'est habitu' 'a raisonner sur des fouclio'ns sants soccuper de savoir si ion en poss~dait ou noin une representation 'a Faide
des symboles hiabituels. Nons n'ayons aucune expression des fonctions de domt)aine; onl
nie comprend mmeti pas comment, actuellem-ent, on pourrait en trouiver une puisque
nouis ne poss'd-ons aucun. syste.me d'algorithmes propre 'a la determination et i't Ia
repr sentation des donmaines. Pourtant, la fonction F(X. Ydfne par1'g1t6()
que j'ai appele' l'inUc'gration inde'fiaie exprime'e it laide des coordonnttees \, Y, permet le calcul approche' de b1(D) dans tout ilomaine D et peut, par suite, etre consid~,re'e coinme une expression de KP)(D); en effet, IU'galite' ( 2 )fait conuailtre (J) dans
certains rectangles, puis, par addition, on. en dleduit P1 dan~s des domaines aussi voisins qu'on le veut du domaine D donne'.
D'une fa~on plus ge'nierale, si, dans la fanilile des domaines D, noues dcblimitons
une famille spe'ciale de domaines dependaut de k parametres, K1)(D) devien-dra uine
fonction do ces k parame'tres. An point de vne pbysique, cette foriction de k variables repre'sentera, -contrairement 'a cc que je disais plus hant, unue vraie grandeur et
non une grandeur de'rive'e; inais si, mathe'matiquement, on pourra conside~rer cette
fonction comme fine fonction de point, plhysiquement ce sera Aine fonction de domiaine.
On. s'assurera facilement que, dans touis les cas oft' nne fonction d'une ovi de plusienrs variables, represente fino vraie griandeur, cetlte grandeur est attache'e,It vIm Corps
Ctendn et non 'a uni point; que c'est une fonction de domaine; on pent prendre pouir
exeniple la masse de l'eau contenue dans tin reservoir, cette miasse est une fonctiont
de La. hau-teur du niveau do 1'eau.
Ces fonctions de k variables donneront, si elies sont con venabletuient chtoisies des
representations (le KP)(D) eiquivalentes 'a cellos quo fovirnit la fonction F(\-, Y). L'inconve~nient comminun (t toutes ces representations, c'est qu'elles sont artificielles;
F(X, Y) est rolatif 'a un choix arbitraire, d'axes de coordonn~es et varie do facon compliqiuee de's quo ces axes vanient. En porta-nt son attention sur (1P(D) elle-me'me, on so
~conformie 'a vine etonidance, en qucique sorte inverse die cello (Ion tje parlais pluts hautL,
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