Notice sur les travaux scientifiques de Henri Lebesgue.

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Malgre la premiere de ces proprietes, cette fonction apparait comlmle relativement
peu liee a l'integrale definie; son veritable role, qui est relatif a la propriete (3), se
manifeste dans l'integration des equations aux derivees partielles du second ordre
du type hyperbolique. Dans ses rapports avec l'int'grale definie, l'integrale indfinie F(X) d'ine fonction fj(x),
(i') 'F(X) f J'(x)dxcl + C,
/o
a pour role principal de faire connaitre l'integrale definic de f(x) pour n'importe
quel domaine d'integration, grace a l'egalite
(2') / ' (x) (x- F(b) - F(a).
F(X) apparait en quelque sorle comne an repertoire dans lequel on peut lire imnedialement n'imnporte laquelle des itntegrales definies de f(x). Utie fonction de deux
variables ne pet ete e e repertoire analogue pour la fonction J'(x, y), puisque les
variables ne peuvent jouer le role du 2~: clles ne peuvent determiner un domaine.
MAais la forme du repertoire iirporte peu, c'est la conception de ce repertoire qui est
toutl; nous appellerons done integrale indefinie de f(x, y) la correspondance entre tnl
domaine D et l'integrale deJinzie de f(x, y) danls D. C'est la fonction de domaine (1 (D).
Les mots defini et indefini ayant le sens de determine et indeteLrmine, une integrale
est definie on indiefinie, suivant qu'elle est (tendue a unI domaine defini ou indefini.
Si f(x, y) est une densite, V)(D) est la masse du domaine ); si f(x, y) est une
vitesse normale, I)(D) est le debit a travers la surface D; si j(x, y) est une pression
en un point, '1)(D) est la pression totale sur D; tI)(D) pent etre aussi une quantite de
chaleur, une charge electrique, etc... On voit, par ces exemples, que les fonctions de
domaine ont un sens physique tres clair: ce sont les nombres qui nesurent des gratndeurs. A cet egard, ces nolmbres s'introduisent en physique plus primitivement
meme que les fonctions de point, lesquelles ne servent le plus souvent qu'a eatalonner
des qualites. Initialement, en effet, une densite, une vitesse, une pression en un point
Aetalonnent des qualites, des etats, comme une temperature ou une densite electrique;
elles permettent de distinguer des corps plus ou mnoins denses, des 6coulements plus
ou moins rapides, etc... I1 arrive frequemnent, il est vrai, que l'on puisse preciser
assez l'etalonnage primitif pour arriver a definir ce qu'on appelle une grandeur
derivee; m.ais, lorsqu'on y arrive, c'est toujours par l'interlmediaire d'une fonction de
domaine. Le plus souvent meme par l'intermediaire de la fonction de domaine 4D(D)
qui est l'integrale indefinie de la fonction de point J(P) consideree; dans ce cas,
l'operation consiste a prendre autour de P un petit domaine 8 de mesure J., puis a
calculer la
(4) limite f(P), pour,i tendant vers zero, de
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