Notice sur les travaux scientifiques de Henri Lebesgue.

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et le m:ieux serait 6vidermtent de d4efinir pour clles, tout d'abord, l'integration et la
deriv-ation. C'est pr'cisenmeolt co que j'ai eu la bonne fortune de faire.
Partant de principes tre's simples, j'ai reussi a donner de l'integrale une definition aussi facile a manier ([lue celle relative aux fonctions continues, et qui, contrairement a ce (Iu'on aurail pu craindre, apporte des simplifications et non des complications. Elle est pourtant si generale qu'elle s'applique a toutes les fonctions
borinees que 1'on peut lrncontrer, car la nouvelle operation s'applique a toute fonction bornee rentrant dans la classification de M. Baire. Les fonctions ainsi integrables, les fonctions sommnables, no forment done pas une classe artificielle et particuliere comme les fonctions integrables au sens de Riemann. On ne connait aucune
fonction bornee qui ne soit somumable.
Malgre la grande gene'ralite de l'op6ration de l'integration, on pent definir pour
elle une operation inverse, ce qui pourtant n'avait pas ete fait pour le cas plus simple dle 'integration an. sens de Rienmann. Pour les fonctions d'une variable, cette
operation inverse est, presque en tout point, la derivation ordinaire qui se trouve
ainsi tendue a e A vi aste classe de fonctions; avec quelque imprecision, on peut dire
a toutes les fonctions A variation bornee. Resultat assez curieux si l'on songe que
jusque-la on savait seulement qu'il y a des fonctions qui ont une derivee et d'autres
qui n'en ont pas. Sans do-ute, la classe des fonctions dlerivables ainsi trouvee n'apparait pas avec ce caraclte de genecralite imlpression.nant que possede la classe des
fonctions sommIables, elle participe cependant de cette generalite: 'integration
indefinie de toute fonction sommable fournissant une fonction a variation bornee.
A\u reste, cette classe de fonctions n'est pas artificielle, car Jordan ne 1'introduisit
dans la Science que parce qu'elle s'etait imposee avec necessite dans les etu(les sur
la rectification des courbes; entre les mains de Jordan, elle a montre tout de suite
son importance dans plusieurs questions, dans l'etude des series trigonometri qlues,
par exemple.
Pour les fonctions de plusieurs variables, l'operation inverse de l'integration,
qu'on ne considerait guere, meenr en ce qui concerne 1'integration des fonctions
continues, est encore une sorlte derivation; elle s'applique A une famille naturelle
de fonctions: les fonctions d'ensemble qui sont a variation bornee.
En possession d'operations applicables a de tres vastes classes de fonctions, on
peut, des lors, aborder bien des problemes; soit des problemes calques sur ceux de
l'analyse classique, soit meme des problemnes de cette analyse qu'on avait laisse de
cote jusque-la parce que la consideration des fonctions discontinues n'en pouvait
etre ecartee. C'est ainsi que mes resultats sur l'integration et la derivation ont ete
utilises pour le calcul des fonctions primitives et pour l'etude de l'existence des
derivees; pour l'etude des series de Fourier, des autres series trigonometriques et
des series qui les g6neralisent; pour l'etude des integrales singulieres et des developpements qui en resultent; pour l'eltde des equations integrales et des series