Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

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plus simple que de se débarrasser de la coItradiction, en faisant
disparaître les objets idéaux qui é-taient le sujet de cette contradiction: ~,. L'ensemble W de tous les nombres ordinaux..
devrait ~, suivant M. Hadamard, ~( tre considéré comme non
existant 1 ~; et en effet, ajoute-t-il, (( on na le droit de former un
ensemble qu'avec des objets préalablement existants, et il est
aisé de voir que la définition de W suppose le contraire2 ). Seulement, il reste alors à savoir ce qui devtsa, désormais, être considéré comme véritablement premier: sera-ce la réalité transcendante de ces objets qui sont places au-dessus de toute
atteinte effective de l'esprit humain? ou le principe de contriadiction que notre pensée leur applique?' ~ M. Burali-Forti,
écrit M. Lebesgue, raisonne sur des êtres mal définis comme
s'ils étaient bien définis; or- l'empiriste se demande si ce n'est
pas précisément là ce qui caractérise le raisonnement idéaliste.
Pour qu'un empiriste pût admettre les preuves idéalistes, il
faudrait qu'on lui eût enseigné comment, avant, qu'un raisonnement idéaliste ait conduit à une contradiction, il pourra
s'apercevoir s'il est illégitime ou légitime3. ~ Bref, comme nous
l'avons remarqué dans la critique du réalisme logistique de
M. Russell, les antinomies cantoriennes font plus que de
montrer l'impossibilité de résoudre tel ou tel problème; elles
emportent avec elles la conception philosophique dont le
problème est issu. De l'attitude idéaliste il. ne reste que la
reconnaissance vague de quelque chose qui dépasse les déterminations de la science actuelle, sorte de ~ reservoir ~ pour les
conquêtes de la science future.
D'autre part, s'il fallait voir dans l'attitude empiriste autre
chose qu'une règle de prudence particulièrement opportune et
frappante de la part de ceux-là même qui ont manié les notions
cantoriennes et les ont fait fructifier sur le champ de la mathématique positive, si on devait l'ériger en une métaphysique qui
s'enfermerait rigoureusement dans l'enceinte du fini, on soulèverait des difficultés pratiques que 1'Pon ne parviendrait guère à
écarter que par des expédients de langage. Par exemple M. Borel
borne le domaine de la science positive aux ensembles effectivement énumérables, c'est-à-dire tels que l'on puisse ~ indiquer
au moyen d'un nombre fini de mots, un procédé sûr pour
attribuer sans ambiguïté un rang déterminé à chacun -de [leurs]
1. Revue générale des Sciences, 1905, p. 42'1.
2. Bulletin de la Société mathématique, p. 271.
3. Contribution à l'étude des correspondences de M. Zermelo, Bulletin de la
Société mathématique,, 1907, p. 212.