Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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Betrachten wir die Geraden g, g2, 1' und 2,'. Diese bestimmen in ihren Schnittpunkten wv, x, y, z Ecken eines Tetraeders,
von welchem die vorgenannten Geraden zwei Paare von Gegenkanten
repräsentieren. Der gemachten' Voraussetzung nach sind aber diese
Gegenkanten auf einander wechselseitig senkrecht, daher das Tetraeder
ein solches ist, von welchem die Sätze 60) und 61) gelten.
Nachdem die Gerade 13 auf g1 und g2 senkrecht steht, so bestimmt dieselbe den kürzesten Abstand bc dieser Geraden und enthält folglich auch den Höhenpunkt p des Tetraeders Owxyz.
Desgleichen repräsentiert die Gerade g,' oder e, f, den kürzesten
Abstand von 1,' und 1', enthält mithin (nach Satz 61a) ebenfalls
den Höhepunkt des Tetraeders wzxyz; es wird sonach der Schnittpunkt p von g3' und 13 jenen Höhenpunkt darstellen. Nach Satz 61e)
ist aber:
pb.pc =- pe,.pfI = yf.
Nachdem aber die Punkte b und c der Kugel K, jene e, und f, dagegen der Kugel K, angehören, so sagt dieses Ergebnis nichts anderes
aus, als: die beiden c on c e n t r i s c h e n Kugeln Kl und K, haben für den
Punkt 2) die gleiche Potenz x2. Letzteres ist aber, wie wir wissen, nur
dann möglich, wenn beide Kugeln Kund K1 in eine zusammenfallen.
Nachdem aber die beiden Sechsseite auf dem Hyperboloide beliebig gewählt wurden, so folgt der Satz:
64. "Die Eec72unkte silämticeher taf eicem gleichseitigen Hyperboloide liegenden rechtwinkligen windschiefen Sechsseite befinden sich
auf einer gewe'issen mit demi Hyperboloide concentrischen Kugel."
Auf dieser Kugel liegen aber auch diejenigen Punkte, welche die
sämmtlichen Sechsseite zu rechtwinkligen Parallelepipeden ergänzen.
Untersuchen wir nun, was die bezeichneten Punkte für eine Bedeutung haben.
Das Sechsseit abcdefa wird durch die beiden Punkte m und n
zum Parallelopiped ergänzt; m ist der Schnittpunkt dreier zu einander rechtwinkliger Berührungsebenen (g1, 13) (Y2,,1) und (g3, 12) des
Hyperboloides, ebenso ist der Punkt n der Durchschnitt der rechtwinkligen Berührungsebenen (g1, 2), (go, 13) und (g3, t1). Das Gleiche
gilt von den Punktepaaren, welche die übrigen Sechsseite zu Parallelepipeden ergänzen. Es gilt daher der Satz:
65. ~Die Kugel, welche die Eclpenkte aller windschiefen rechtwinkligen Sechsseite des gleichseitigen Hjperboloides enthält, enthilt
auch die Durchsc7hnittspunkte je dreier auf einander senckrcht stehender Beriihrungsebenen des gleichseitigen Hyperboloides. "