Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

750
eine Erzeugende von R'2 (nachdem dieselbe gl, (g) und g'2 schneidet)
darstellen müssen.
Die beiden Regelflächen würden also, dieser Voraussetzung zufolge, wenn sie zulässig wäre, dennoch zwei Erzeugenden gemein
haben, welche dem Systeme g nicht angehören. Nachdem dies aber,
wie eben nachgewiesen wurde, unmöglich ist, so ist auch die letztere
Annahme, als dem Früheren widersprechend, zu verwerfen.
Aus diesen Betrachtungen folgt somit, dass die beiden Regelflächen, außer der Geraden g" keine weitere Gerade gemein haben.
Weiters geht aber aus diesen Erörterungen gleichzeitig hervor,
dass die besagten Flächen auch keinen Kegelschnitt gemeinschaftlich
besitzen können. Denn, wäre letzteres denkbar, so würde derselbe
mit g, einen Ort dritter Ordnung repräsentieren; der Rest müsste
demnach von der ersten Ordnung sein, oder mit anderen Worten, die
beiden Regelflächen müssten, außer dem Kegelschnitte und der Geraden
g, noch eine zweite Gerade gemein haben, welche Annahme gleichfalls unzulässig erscheint.
Hiernach gelangen wir zu dem Schlusse, dass zwei Regelflächen
zweiten Grades, welche eine gemeinschaftliche Erzeugende besitzen,
sonst aber eine beliebige gegenseitige Lage haben, sich außer in dieser
Geraden, nur noch in einer eigentlichen Raumcurve dritter Ordnung
schneiden können. Es gilt sonach der Satz:
394.,Zwei Regelflächen zweiten Grades, welche eine gemeinschaftliche Erzeugende besitzen, sonst aber eine beliebige gegenseitige
Lage haben, schneiden sich, außer in dieser Erzeugenden, unter allen
Umständen immer noch in einer eigentlichen Raumcurve dritter
Ordnung."
~. 720.
Untersuchen wir weiters das Verhalten der Erzeugenden
einer Regelfläche gegen eine auf der letzteren liegende
Raumcurve C dritter Ordnung.
Diese Curve C3 sei der Schnitt der Regelfläche Rg mit einer
anderen Regelfläche R'g, welche mit R2 eine Erzeugende g, gemein
habe.
Betrachten wir eine beliebige zum System g, gehörende Erzeugende g2 der Regelfläche B2, so schneidet dieselbe die zweite Regelfläche R'Q in zwei Punkten, welche offenbar dem Schnitte beider
Regelflächen R2 und RIl angehören müssen. Da aber die Erzeugende
g2 die zu dem nämlichen Systeme gehörende Erzeugende g, nicht
schneidet, so müssen die beiden Schnittpunkte auf der Curve C3 liegen.