Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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Die Verticaltrace Bv derselben fällt, als projicierende Ebene, mit der
verticalen Projection mn der Geraden (mn, m'n') zusammen.
Die Berührungscurve selbst ist der Schnitt der Ebene B, Bh
mit dem Paraboloide. Dieselbe kann, da eine Achse (nan, m'n') derselben bereits bekannt ist, leicht construiert werden. Nachdem nämlich die Horizontalprojection der Berlhrungscurve mit der Ellipse
(a'b', c'd') ähnlich und ähnlich gelegen ist, so lässt sich die Horizontalprojection ihrer zweiten Achse unmittelbar aus der Horizontalprojection
m'n' der ersten Achse ableiten.
Liegt der Punkt (P, P') innerhalb des Paraboloides auf
der Hauptebene N, also innerhalb der in dieser Ebene liegenden Hauptparabel, so kann aus demselben dem Paraboloid kein reell er K e g e l
umschrieben werden. Die Ebene der Berührungscurve, aufgefasst als
die Polarebene des Punktes (P, P'), ist aber reell. Dieselbe steht
wieder auf der Hauptebene q senkrecht und geht (nach Satz 399,
Band II) durch die Polare des Punktes (P, P') in Bezug auf die in
der Hauptebene r liegenden Parabel, was für deren Construction vollkommen hinreichend ist.
~. 699.
313. Aufgabe. Es ist die Berührungsourve eines elliptischen
Paraboloides mit einem demselben umschriebenen Kegel unter der
Voraussetzung zu construieren, dass der Kegelscheitel eine allgemeine
Lage im Raume besitze.
Der gegebene Kegelscheitel ist durch seine Projectionen P und
JI' (Taf. XXXXI, Fig. 277) dargestellt.
Die Berührungscurve wird bestimmt sein, sobald man drei ihrer
Punkte kennt. Besagte Curve wird nämlich durch den Schnitt des
Paraboloides mit der durch diese drei Punkte gelegten Ebene dargestellt erscheinen.
Es können, wie wir wissen, vier Punkte der Berührungscurve auf höchst einfachem Wege gefunden werden. Vor allem ist
bekannt, dass die Berührebenen des Paraboloides in den Punkten
jener Hauptparabel, welche ii der zur verticalen Projectionsebene
parallelen Hauptebene q liegt, zur Ebene q senkrecht stehen, also
vertical-projiciereud sind, und dass ihre Verticaltracen die Tangenten
an die Verticalprojection (F, A) dieser Parabel seien.
Führen wir daher zunächst durch die Verticalprojection P des
gegebenen Punktes an die Parabel (F, A) die Tangenten t, und t.,
deren Berührungspunkte m und n sein mögen (Construction nach Aufgabe 207), so repräsentieren t1 und t2 die Verticaltracen zweier dqrch