Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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Die Senkrechte Z von F auf diese Ebene TA repräsentiert die Rotationsachse und der Punkt A, in welchem dieselbe die Ebene TA trifft,
den Scheitel des Paraboloides.
~. 605.
233. Aufgabe. Ein Rotationsparaboloid ist durch den Brennpunkt, einen Punkt auf der Fläche und zwei Tangentialebenen gegeben; der Scheitel der Fläche ist zu bestimmen.
Die beiden Tangentialebenen seien T, und T2, der gegebene
Punkt sei p und F stelle den Brennpunkt des Paraboloides dar.
Die Scheiteltangentialebene ist, wie wir wissen, von dem Brennpunkte eben soweit als von der Directrixebene entfernt. Zieht man
daher durch den Brennpunkt F eine beliebige Gerade, welche die
Scheiteltangentialebene im Punkte a und die Directlixebene im Punkte
a trifft, so ist jederzeit aa -aF. Der Punkt a ist also mit F in
Bezug auf den Punkt a als,Symmetriepunkt" symmetrisch gelegen.
Diese Eigenschaft werden wir in folgender Weise zur Lösung
der vorstehenden Aufgabe verwenden.
Wir fällen von dem Brennpunkte F auf die Ebenen T1 und To
die betreffenden Perpendikel Fa1 und Fa. Die Fußpunkte a, und ao
dieser Perpendikel gehören (nach Satz 340) der Scheiteltangentialebene
an. Verlängert man die genannten Perpendikel über ac, resp. a.
hinaus, um ihre eigenen Längen Fa und Fa, bis a,, beziehungsweise
a, so stellen die Punkte a, und a~ (welche eigentlich die Symmetriepunkte des Brennpunktes F in Bezug auf die beiden Tangentialebenen
T1 und Ti repräsentieren), der vorausgeschickten Betrachtung zufolge,
zwei Punkte der Directrixebene dar.
Nun ist aber noch der Punkt p gegeben. Die Directrixebene
muss von diesem Punkte p den nämlichen Abstand besitzen, welchen p
von dem Brennpunkte F hat. Die Directrixebene muss demnach jene
Kugel berühren, welche den Punkt p zum Mittelpunkte hat und durch
den Brennpunkt F geht. Da somit zwei Punkte c, und a,2 also eine
Gerade c ace der Directrixebene bekannt ist, so ergibt sich die letztere
als die eine oder die andere der Tangentialebenen, welche durch die
Gerade a1 ac an die genannte Kugel gelegt werden können.
Jene Ebene, welche parallel zu der Directrixebene durch die
Gerade ala, geführt werden kann, ist die Scheiteltangentialebene und
der Punkt, in welchem dieselbe von der durch F zu ihr senkrecht
geführten Rotationsachse geschnitten wird, der gesuchte Scheitel.