Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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selben auf dieser Ebene T der Scheiteltangentialebene angehören.
Letztere ergibt sich demnach als die durch a senkrecht zur Achse Z
geführte Ebene Ta. Dort wo die Achse Z von der letztbezeichneten
Ebene getroffen wird, erhalten wir bereits den gesuchten Scheitel A
des Paraboloides.
~. 602.
230. Aufgabe. Ein Rotationsparaboloid ist durch die Lage der
Achse Z und durch zwei Tangentialebenen T, und ~T gegeben; der
Scheitel und der Brennpunkt desselben sind zu bestimmen.
Drehen wir zunächst die beiden Tangentialebenen T, und Td so
lange, bis sie auf einer und derselben, beliebig durch Z gelegten
Meridianebene P senkrecht stehen. Da die bezeichneten Ebenen bei
dieser Drehung nicht aufhören, Tangentialebenen an die vorgegebene
Fläche zu sein, so werden sie die Ebene P in der gedrehten Lage in
zwei Tangenten t, und t2 des in dieser Ebene P liegenden Meridianes
schneiden.
Es wird sich demnach bloß darum handeln, den Scheitel und
den Brennpunkt einer Parabel zu finden, welche durch die Achse Z
(der Lage nach) und zwei Tangenten t, und t, (Taf. XXX, Fig. 202)
gegeben ist.
Suchen wir vorerst die Scheiteltangente T dieser Parabel. Dieselbe wird eine zu Z senkrechte Gerade sein, welcher die Eigenschaft
zukömmt, dass sie die beiden Tangenten t, und t2 in jenen Punkten
a, und a" treffen wird, in welchen Senkrechte zu diesen Tangenten
geführt, in einem und demselben Punkte F der Achse Z, d. i. in dem
Brennpunkte der Parabel zum Schnitt gelangen.
Um demnach diese Scheiteltangente T und den Brennpunkt 1'
zu finden, ziehen wir zunächst an beliebiger Stelle x eine Senkrechte r
zur Achse Z, welche den Tangenten t1 und t2 in al und ag begegnen
mögen. In den Punkten a, und ac fällen wir auf t, und t2 die Normalen n, und n., welche sich in einem Punkte cp schneiden. Verbindet man diesen Punkt 9p mit dem Schnittpunkt s der beiden Tangenten t, und t2, so trifft die Verbindungsgerade cps die Achse Z in
dem zu bestimmenden Brennpunkte F.
Denn, zieht man von F aus die Perpendikel Fa, und Fa2 auf
t1 und t., und verbindet man a, und a. durch eine Gerade T, so
erhält man zwei Dreiecke a a2 F und a, a2 q, die in Bezug auf s als
Ähnlichkeitspunkt ähnlich gelegen sind. Es sind daher auch die dritten
Seiten, a- =-r und a, a -= T parallel, woraus folgt, dass T die
Scheiteltangente und F der Brennpunkt der gesuchten Parabel sei.