Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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Um vor allem die Endpunkte der oberwähnten Achse (s, s'), d. i.
die Schnittpunkte derselben mit dem Hyperboloide zu ermitteln, suchen
wir die ihr collinear entsprechende Gerade (so,s'o). Diese ergibt sich,
wie wir wissen, als die Verbindungsgerade des Punktes (6, 6'), in welchem
(s, s') die Collineationsebene Ce schneidet, mit dem Punkte (Vo, v',), in
welchem die Gegenebene Ge von dem zu (s,s') parallelen Collineationsstrahle (Ov, O'v'o) getroffen wird.
Die Schnittpunkte (ao, a') und (bo,b'o) dieser Geraden (s soo) mit
der Collinearkugel SO werden auf die bereits mehrfach besprochene
Weise (durch Umlegung um die Horizontalprojection s'o) gefunden.
Den bezeichneten Punkten entsprechen collinear die gesuchten Schnittpunkte (a, a') und (b, b') der Geraden (s, s') mit dem Hyperboloide,
und werden dieselben im Schnitte (a,a') und (b,b') der Geraden (s,s')
mit den Collineationsstrahlen (Oa, O'a'o) und (ObO'b'o) erhalten.
Halbiert man die Achse (ab, a'b') des Kegelschnittes (2', 2') im
Punkte (o,o'), so repräsentiert dieser letzterhaltene Punkt den Mittelpunkt des genannten Kegelschnittes. Die Gerade (e, s'), welche durch
(o, o') senkrecht zu (s, s'), also parallel zur Trace Eh gezogen wird,
stellt sodann die zweite Achse des Kegelschnittes (2,.') dar. Die Endpunkte derselben, d. h. die Schnittpunkte von (e, s') mit dem Hyperboloide können gleichfalls mittelst der Collinearkugel (So, SO) gefunden
werden. Dem Punkte (o,o') entspricht nämlich collinear der Schnittpunkt (o, o'o) der Geraden (so, s'o) mit dem Collineationsstrahle (Oo, O'o'),
und da einer zur Collineationsebene parallelen Geraden wieder nur eine
zu derselben parallele Gerade entspricht, so erhält man die Collineargerade von (e, s') als die durch den Punkt (o, o'o) zu (e, a') geführte
Parallele (E", a'o).
Bestimmt man nun die Schnittpunkte (co, c'o) und (d6, d'^) der
Geraden (E, E'o) mit der Collinearkugel, so werden denselben die gesuchten Achsenendpunkte von (E,E') collinear entsprechen. Dieselben
ergeben sich unmittelbar als die Schnittpunkte (c, c') und (d, 1') der
Geraden (,8 ') mit den Collinationsstrahlen (Oco, O'c'o) und (0Od, O'do).
Der Kegelschnitt (2, 2:') ist somit, wie verlangt wurde, durch
seine beiden Achsen (ab,a'b') und (cd,c'd') dargestellt.
~. 548.
Zweite Methode.
Auch diesfalls denken wir uns die eine Achse (s,s') (Taf. XXV,
Fig. 164) als den Schnitt der gegebenen Ebene EEh mit der zu EvEh
senkrechten Meridianebene P Ph bestimmt. Da diese Gerade (s,s')