Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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Wir wissen aber bereits, dass die Berührungspunkte einer veränderlichen Kugel mit zwei festen Kugeln nicht unabhängig von einander sind, und dass die Verbindungsgerade zweier solcher Punkte stets
entweder durch den äußeren oder durch den inneren Ahnlichkeitspunkt
der beiden Kugeln gehe.
Construieren wir beispielsweise den äußeren Ähnlichkeitspunkt A
der beiden gegebenen Kugeln, so finden wir, dass es einfach darauf
ankommt, einen Strahl durch A derart zu ziehen, dass dieser sowohl
den Kreis C, auf S, als auch den Kreis C, auf S2 in einem Punkte
treffe.
Berücksichtigen wir aber, dass die beiden Kugeln S1 und S, in
Bezug auf den Ähnlichkeitspunkt A invers sind, so ist einleuchtend,
dass einem Kreise auf der einen Kugel invers stets wieder ein Kreis
auf der anderen Kugel entsprechen muss, oder mit anderen Worten:
betrachtet man den Ähnlichkeitspunkt A als Scheitel eines Kegels,
welcher durch einen Kreis auf der Kugel SI geht, so wird dieser
Kegel die zweite Kugel stets in zwei Kreisen schneiden, von welchen
der eine zu dem ersteren Kreise ähnlich, der andere hingegen zu dem
ersteren Kreise invers liegt.
Von diesem Umstande kann in nachstehender Weise Gebrauch
gemacht werden. Wir legen durch den Kreis C0 auf der Kugel SQ
einen Kegel, dessen Scheitel der Ähnlichkeitspunkt A ist und denken
uns den Schnitt dieses Kegels mit der ersten Kugel S1 bestimmt. Das
Gesagte ist sehr leicht durchführbar, da, wie wir eben gesehen haben,
dieser Schnitt in zwei Kreise zerfällt. Von diesen Kreisen beachten
wir aber nur jenen C', welcher dem Kreise C0 invers entspricht.
Bezeichneter Kreis C'Q schneidet den Kreis C, in zwei Punkten pl
und p'. Der Construction zufolge treffen sodann die Geraden Ap1
und Ap'1 den Kreis C, auf S, ebenfalls in zwei Punkten p, und p'2,
welche, den vorhergehenden Entwickelungen gemäß, die Berührpunkte
der Kugeln S, und S2 mit zwei Lagen der verlangten Kugeln Z' darstellen.
Nennt man 0, und 02 die Mittelpunkte von S, und S,, so
schneiden sich die Geraden Olp, und O2_p; 0p'1, und 02p'2 in zwei
Punkten Ml und M', welches die Mittelpunkte der beiden Lagen der
Kugel z sind.
Beachtet man endlich, dass man bei den vorstehenden Constructionen ebenso gut auch von dem inneren Ähnlichkeitspunkt der Kugeln
S, und S2 hätte Gebrauch machen können, so ergibt sich, dass im
ganzen vier verschiedene Kugeln der Aufgabe entsprechen.