Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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~. 468.
113. Aufgabe. Es ist eine Kugel zu construieren, welche vier
gegebene Kugeln berührt.
Seien S1, Se, S3 und S4 die vier gegebenen Kugeln. Wählen
wir von den beiden Punkten A, welche die drei ersteren Kugeln
gemein haben, einen als Inversionscentrum und betrachten wir die
Potenz dieses Punktes A in Bezug auf die vierte Kugel S4 als Inversionsmodul, so wird diese Kugel S4 durch Inversion in sich selbst
transformiert, während die drei ersten Kugeln S., S2 und S3 in drei
Ebenen E,, E, und E, übergehen werden.
Construiert man wieder eine Kugel o, welche diese drei Ebenen
F, E,1 E3 und die Kugel S4 berührt, so übergeht dieselbe durch
Inversion in eine Kugel, welche außer der Kugel S4 auch noch die
drei anderen Kugeln S, S2 und S3 berührt und mithin eine der Aufgabe entsprechende Kugel repräsentiert.
Die Zahl der Kugeln, welche den letztangeführten drei Aufgaben
entsprechen, ist stets, die imaginären mit inbegriffen, gleich sechzehn.
Dies lässt sich leicht folgendermaßen nachweisen.
Sind E, E2, E3 drei gegebene Ebenen und S4 eine Kugel, so
wissen wir bereits (Aufgabe 109), dass es sechzehn Kugeln 2...,16
gäbe, welche diese drei Ebenen E1, Eo und E, und die Kugel S4
gleichzeitig berühren.
Transformieren wir diese Gebilde invers a) für ein beliebiges
Inversionscentrum im Raume, so verwandeln sich bekanntlich E, Ee,
E3 und S4 in vier Kugeln und b) durch ein Centrum, welches auf
einer Ebene, etwa auf E1 liegt, so übergeht diese in sich selbst, die
drei anderen Gebilde E, E3 und S4 übergehen dagegen in drei Kugeln,
sowie endlich c) für ein Centrum, das auf der Schnittgeraden zweier
Ebenen, allenfalls auf dem Schnitte von E, und E0, liegt, übergehen
diese in sich selbst, die Ebene E3 und die Kugel S4 dagegen in zwei
Kugeln.
In jedem dieser drei Fälle verwandeln sich aber die sechzehn
Kugeln 2,... l wieder in sechzehn Kugeln, welche die den ursprünglichen gegebenen Ebenen und Kugeln entsprechenden Ebenen beziehungsweise Kugeln berühren.
~. 469.
Die im Vorhergehenden angeführten Constructionen mit Zuhilfenahme der inversen Transformation setzen als nothwendige Bedingung
voraus, dass überhaupt transformiert werden könne, dass also mit
anderen Worten die gegebenen Kugeln und Ebenen reelle gemein