Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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Diese Betrachtung liefert sofort alle Anhaltspunkte für die Construction der Kugel 2, welche die Kugel S und die drei Ebenen
E1, E1 und E3 berühren soll.
Wir legen zu diesem Zwecke parallel zu E1, E2 und E3 an die
Kugel S die drei Berührungsebenen E'1, E', E3'; suchen den Schnittpunkt P' dieser letzteren und verbinden denselben mit dem Schnittpunkte P der drei ersteren durch eine Gerade PP', welche die Kugel S
in zwei (reellen oder imaginären) Punkten p und Pt schneiden wird.
Den vorhergegangenen Erörterungen gemäß kann jeder dieser
beiden Punkte als Berührungspunkt der zu bestimmenden Kugel 2
betrachtet werden.
Um endlich den Mittelpunkt M der Kugel, welche beispielsweise
dem Berührungspunkt p entspricht, zu finden, wird bloß zu berücksichtigen sein, dass derselbe einerseits auf der Geraden Op liegen
müsse, welche den Berührungspunkt p mit dem Mittelpunkte 0 der
gegebenen Kugel S verbindet, andererseits aber auch auf derjenigen
Geraden liegen werde, welche mit den Geraden OP' ähnlich liegt,
d. i. also auf jener Geraden, welche durch P parallel zu OP' gezogen
werden kann.
Was die Anzahl der der Aufgabe entsprechenden Kugeln anbelangt,
so ist dieselbe leicht folgendermaßen zu finden. Zu jeder der drei
Ebenen E, E1 und E3 kann man an die gegebene Kugel zwei parallele
Berührebenen legen, welche sich bekanntlich auf achtfache Weise zu
dreien combinieren lassen. Jedem Tripel solcher zu E, EO, E3 parallelen
Ebenen entsprechen ferner, wie wir eben gesehen haben, zwei verschiedene Kugeln Z; es gibt demnach, die imaginären mit inbegriffen,
sechzehn verschiedene Lösungen der gestellten Aufgabe.
Auf demselben Principe beruht die Lösung folgender Aufgabe.
~. 465.
110. Aufgabe. Einem geraden Kreiskegel ist eine Kugel einzuschreiben, welche nebstbei noch eine gegebene Kugel berührt.
Denken wir uns den gegebenen Kreiskegel (S, C) (Taf. XIVII,
Fig. 112) auf der als horizontale Projectionsebene gewählten Ebene
senkrecht stehend, und seien (K" R1') die Contouren, sowie (0, 01)
der Mittelpunkt der gegebenen Kugel.
Die nothwendige Bedingung für die Existenz einer r e e ll e n dem
vorgegebenen Probleme entsprechenden Kugel, ist die, dass die gegebene
Kugel (K, 1') den Kegel (S, C) reell schneide.
Behufs Lösung dieser Aufgabe kann in ähnlicher Weise wie in
dem vorher besprochenen Falle vorgegangen werden.