Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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Die Verbindungsgerade a a1 muss den Ähnlichkeitspunkt dieser Kugeln
enthalten und da dieser als Berührungspunkt beider Kugeln S und 2
gleichzeitig der Kugel S angehören muss, so kann es offenbar nur der
Schnittpunkt p der Kugel S mit dem Ähnlichkeitsstrahle a a, sein.
Der Mittelpunkt M der gesuchten Kugel Z ergibt sich sodann unmittelbar als Schnittpunkt der Geraden M a mit der Geraden Op.
Mit derselben Berechtigung kann man aber auch die Punkte
a und a'l als ähnlich liegende Punkte beiderb Kugeln betrachten. Es
ergibt sich sodann der Ähnlichkeitspunkt p' als Schnittpunkt der
Kugel S mit dem Ähnlichkeitsstrahle a a'l. Bezeichneter Punkt ist
gleichzeitig der Berührungspunkt einer zweiten Kugel 2', deren
Mittelpunkt M' sich im Schnitte der beiden Geraden M' a und p'0
ergibt.
~. 452.
97. Aufgabe. Es ist eine Kugel zu construieren, welche durch
zwei gegebene Punkte geht, und zwei gegebene Ebenen berührt.
Wählen wir die eine der beiden gegebenen Ebenen, beziehungsweise E1 als die horizontale Projectionsebene, und nehmen wir als die
verticale Projectionsebene diejenige an, welche zu der zweiten gegebenen
Ebene E2 senkrecht steht. Dies vorausgesetzt stellt sich die Ebene E2
als eine verticalprojicierende Ebene E", E2h (Taf. XVII, Fig. 107) dar.
Die Projectionen der beiden gegebenen Punkte seien (a, a') und (b,b').
Soll die zu bestimmende Kugel die beiden Ebenen E, und EZ,
d. h. die horizontale Projectionsebene und die Ebene E-, E2h berühren.
so muss ihr Mittelpunkt in einer der Winkelhalbierebenen H dieser
beiden Ebenen, u. zw. in derjenigen liegen, welche in demselben
Winkelraume von E1 und E, fällt, in welchem sich die Punkte a und
b vorfinden.
Befinden sich die Punkte a und b in verschiedenen Winkelräumen, so ist, wie unschwer einzusehen, die Aufgabe absolut unmöglich,
da eine jede, wie immer durch a und b gelegte Kugel die beiden
Ebenen E, und Ee stets schneiden muss.
Obbezeichnete Ebene H stellt sich diesfalls selbstverständlich
auch als eine verticalprojicierende Ebene H, Hh dar. Ferner muss der
Mittelpunkt der gesuchten Kugel gleichzeitig in jener Ebene e liegen,
welche durch den Mittelpunkt (m, in') der Strecke (a b, a' b') auf
diese selbst senkrecht errichtet wird, mithin im Schnitte der beiden
Ebenen e und H. Dieser Schnitt kann, ohne erst die Tracen der Ebene e
zu bestimmen, leicht folgendermaßen ermittelt werden.
Da die Horizontaltrace der Ebene e senkrecht zu der Horizontalprojection (i' b' steht, ist die Gerade y', welche durch nm' senkrecht