Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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fachen Operation sind nunmehr die Doppelpunkte (D,, D') und (D, D.')
der beiden durch die drei Elementenpaare (a,a'), (a1, a'); (b,b') (b1b, ');
(c,c'), (cl,c,') gegebenen projectivischen Punktreihen auf h festzustellen.
Die horizontalen Projectionen D,' und Do' dieser Doppelpunkte
sind auch Doppelpunkte der beiden Reihen a', b', c'... und al', b, c1...
Dieselben wurden nach der Steiner'schen Methode mittelst Zuhilfenahme eines festen, beliebig angenommenen Kreises K construiert.
Die Punkte (D1, D1') und (D2, D"1) sind bereits die Schnittpunkte der Geraden (h, h') mit dem Hyperboloide (g1 go g3). Die beiden
durch diese Punkte gehenden Erzeugenden (11, 1,') und (1o, l') des
Hyperboloides ergeben sich offenbar als die Schnitte der bezüglichen
Ebenenpaare (gD,), (g D,) und (gDo), (g3 D).
~. 19.
Denken wir uns zwei beliebige projectivische Ebenenbüschel im Raume, deren Achsen zwei sich kreuzende
Geraden gQ und g3 sein mögen.
Die Schnittgeraden entsprechender Ebenen dieser Büschel werden
eine windschiefe Fläche erzeugen, welche, wie sich unschwer nachweisen lässt, vom zweiten Grade ist.
Nehmen wir nämlich eine beliebige Gerade h an, so bestimmen
die beiden projectivischen Ebenenbüschel auf derselben zwei projectivische Punktreihen, welche im allgemeinen zwei Doppelpunkte besitzen. Durch jeden dieser Doppelpunkte gehen zwei einander entsprechende Ebenen der Büschel g. und g3, mithin also eine Erzeugende
der Fläche. Die Gerade h hat demgemäß mit der durch die beiden
projectivischen Büschel g# und g3 erzeugten windschiefen Fläche zwei
Punkte - die vorerwähnten Doppelpunkte - gemein, ist somit eine
Fläche vom zweiten Grade.
Es ist naheliegend, zu untersuchen, ob eine derartige Fläche
zweiten Grades, welche von den Schnittlinien entsprechender Ebenen
zweier projectivischen Ebenenbüschel g, und g3 hervorgebracht wird,
nicht auch ein windschiefes Hyperboloid sei, d. h. eine Fläche ist,
welche durch jene Gerade erzeugt wird, die drei gegebene Geraden
g, g2 und g3 schneidet.
Um für die Richtigkeit der ausgesprochenen Vermuthung den
Beweis zu erbringen, wird es offenbar genügen, zu zeigen, dass die
Schnittlinien entsprechender Ebenen der Büschel g, und g3, außer den
Achsen g. und g3 dieser Büschel, noch eine dritte Gerade g,, die zu
bestimmen sein wird, schneiden. Wie der nachstehenden Betrachtung
entnommen werden kann, ist dies in der That der Fall.
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