Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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Denkt man sich endlich durch die vier Punkte F, Z, a,f einen
Kreis gelegt, was, infolge der rechten Winkel bei a und ß, stets möglich ist, so sind Ffßa und F2ea als Peripheriewinkel über der Sehne
Fa einander gleich, und es ist daher auch
4 p f -4 F.a,
woraus unmittelbar folgt, dass 2F die zweite Focalgerade des Kegels
sei. Daher der Satz:
347., Von den Focalgeraden eines beliebigen einem lRotationsparaboloide umschriebenen Kegels ist die eine parallel zur Botationsachse, während die zweite durch den Brennpunkt des Paraboloides
geht."
~. 366.
Der in 342) ausgesprochene Satz lässt sich durch die vorher
festgestellte collineare Verwandtschaft eines Rotationsparaboloides S mit einer Kugel SO ebenfalls sehr leicht beweisen.
Denken wir uns zu diesem Behufe einen beliebigen Schnitt K,
des Rotationsparaboloides bestimmt. Demselben wird ein ebener Schnitt
K,~ der Kugel So, also ein Kreis entsprechen. Wird ferner durch den
ersten Kegelschnitt K1 ein Cylinder parallel zur Achse Z, oder mit
anderen Worten ein Kegel, dessen Scheitel der unendlich ferne Punkt
B. ist, gelegt, so wird diesem Cylinder collinear derjenige Kegel entsprechen, welcher durch den Kreis K1' geht und den Kugelpunkt Bo
zum Scheitel hat; ferner muss dieser Kegel die Collineationsebene Cs in
derselben Curve c wie der Cylinder schneiden.
Nach Satz 189) ist aber die zweite (zur Ebene des Kreises K,~
nicht parallele) Schar von Kreisschnittsebenen des Kegels (B~, K,0)
diejenige, welche zur Berührebene Ge der Kugel So im Punkte Bo
parallel ist. Zu dieser Berührebene Ge ist aber, der Voraussetzung
gemäß, die Collineationsebene Ce parallel; es wird mithin der Kegelschnitt c, in welchem der Kegel (Bo, K,0) und auch der ihm collineare
Cylinder (B2, K) die Collineationsebene Ce schneidet, insbesondere ein
Kreis sein.
Nachdem weiters die Erzeugenden des Cylinders (B., K) zu
dessen Kreisschnittsebene Ce senkrecht stehen, so ist derselbe ein
gerader Kreis- oder Rotationscylinder.
Hiemit ist der Satz 342), welcher dortselbst als Specialfall des
Satzes 328) unter der Voraussetzung aufgestellt wurde, dass das Paraboloid als Grenzfall des Ellipsoides betrachtet wird, jetzt in aller
Strenge bewiesen.