Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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werden, deren entsprechendes Kugelbündel die äußere Ähnlichkeitsachse A zur Potenzachse hat.
Besagte Ähnlichkeitsachse oder Potenzachse wird von allen Kugeln
des zugehörigen, die Kugeln S1, S2 und S3 unter gleichen Winkeln
schneidenden Kugelbündels in zwei festen (reellen oder imaginären)
Punkten geschnitten. Durch diese Punkte, wir wollen dieselben z/
und z/2 nennen, gehen also nicht nur die sämmtlichen erzeugenden
Kugeln der Cyclide, sondern weiters auch, wie übrigens selbstverständlich, die Schnittkreise zweier solcher Kugeln. Dies gilt namentlich von den Schnittkreisen zweier unmittelbar aufeinander folgender
umhüllten Kugeln, d. h. von den Charakteristiken der Cyclide.
Es folgt daher der Satz:
279. "Die Charakteristiken einer Dupin'schen Cyclide sind Kreise,
welche sämmtlich durch zwei feste (reelle oder imaginäre) Punkte auf
einer Ähnlichkeitsachse der drei Leitkugeln gehen."
~. 313.
Es wird nunmehr auch keinerlei Schwierigkeit bieten, zu unterscheiden, ob diese beiden obbezeichneten Punkte z11 und d/, welche
die,Knotenpunkte" oder "Doppelpunkte" erster Art der
Cyclide genannt werden, reell oder imaginär sind.
Wir wissen nämlich, dass die Scheitelpunkte eines Kugelbündels,
d. h. die beiden festen Punkte auf der Potenzachse des Bündels reell
oder imaginär sind, je nachdem sich die Orthogonalkugeln dieses
Bündels beziehungsweise nicht schneiden oder schneiden, oder mit
anderen Worten: die Scheitelpunkte eines Kugelbündels sind reell,
wenn ihr Orthogonalkreis imaginär ist, und umgekehrt.
Andererseits wurde aber auch gezeigt (Satz 272), dass die Orthogonalkreise derjenigen Kugelbündel, welche S1, S2, S3 unter gleichen
Winkeln schneidet, durch die beiden Schnittpunkte dieser drei Kugeln
gehen, also mit denselben beziehungsweise reell oder imaginär werden.
Die Knotenpunkte der Cyclide werden demgemäß reell sein, wenn
die beiden Schnittpunkte der drei Leitkugeln S, St, S imaginär sind,
und umgekehrt. Es gilt folglich der Satz:
280.,Die beiden Knotenpunkte der Cyclide, d. h. die beiden
Punkte, durch welche sämmtliche Charakteristiken gehen, sind reell
oder imaginir, je nachdem die Schnittpunkte der drei gegebenen Leitkugeln imaginär, beziehungsweise reell sind."