Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

289
Der getroffenen Annahme gemäß geht sodann die Verbindungsgerade a, a, wie bereits früher bei Betrachtung zweier Kugeln gefunden wurde, durch den äußeren Ahnlichkeitspunkt A3 der beiden
Kugeln S, und S,. Ferner führt die Gerade ac a3 durch den Ähnlichkeitspunkt A1 der Kugeln S, und S3, und endlich geht die Gerade
a3a1 durch den äußeren Ähnlichkeitspunkt A, der Kugeln S3 und S,.
Die drei Geraden aa, a2a3, a3a, schneiden sich in a1, a, und
as, treffen nebstbei die äußere Ähnlichkeitsachse AA,AA3 der drei
Kugeln, liegen also mit der letzteren in einer und derselben Ebene.
Würde man die Radien nehmen, welche verschiedenen Sinn besitzen,
wie beispielsweise C, b, C2 a und C3a3, so findet man auf dieselbe
einfache Weise, dass auch die drei Punkte bl, a, und a3 mit der
inneren Ähnlichkeitsachse i, welche den äußeren Ähnlichkeitspunkt A,
der Kugeln S2 und S3 enthält, gleichfalls in einer und derselben Ebene
liegen. Demnach folgt der Satz:
268.,Zieht man in drei beliebigen Kugeln drei untereinander
parallele, sonst aber beliebig gerichtete JRadien, so liegen die Endpunkte derselben allemal in einer Ebene, welche eine Ahnlichkeitsachse der drei Kugeln enthalten muss. Diese Ähnlichkeitsachse wird
die iäußere oder eine innere sein, je nachdem die genannten drei Endpunkte entweder sämmtlich auf einerlei Seite der Centralebene, oder
zu verschiedenen Seiten derselben liegen."
~. 300.
Sind S, S~ und S3 drei beliebige Kugeln, und stellt S eine
Kugel dar, welche die drei ersteren in drei Punkten x,, x, und xs
berührt, so geht, wie wir aus Satz 254) wissen, die Verbindungsgerade x, xr durch den Ähnlichkeitspunkt A, der beiden Kugeln S,
und S>.
Dieselbe könnte offenbar ebenso gut auch durch den inneren
Ähnlichkeitspunkt I3 dieser Kugeln gehen, doch hängt dies lediglich
von der Art und Weise ab, wie die Kugel S die drei Kugeln S,,S
und 83 berührt. Wir setzen daher, um einen bestimmten Fall vor
Augen zu haben, voraus, die drei Berührungspunkte xz x", x3 lägen
auf einerlei Seite der Centralebene. Ferner geht, der nunmehr getroffenen Wahl entsprechend, aus demselben Grunde wie oben
die Gerade 3 xx durch den Ähnlichkeitspunkt A1 von S2 und S3
und ebenso die Gerade x3x, durch den Ähnlichkeitspunkt Ao von /S
und S,.
Dies Ergebnis sagt aber nichts anderes aus, als dass die Ebene
des Dreieckes der Berührungspunkte x, xo und x3 die
P e s c h k a, Darstellende u. projective Geometrie. III. 19