Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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metrisches. Die Orthogonalebene desselben ist, wie unschwer einzusehen, gleichzeitig auch eine Orthogonal- und Sym metrieebene für das Kugelbündel. Die letztgenannte Ebene ist mithin
keine andere als jene, welche im Halbierungspunkte der Strecke RR'
senkrecht auf p geführt werden kann. Demnach folgt der Satz:
202.,Jedes iKgeltiindel besitzt eine Orthogonal- beziehungsu'eise Symmetrieebene; dieselbe steht auf der Potenzachse des Bündels
senkrecht, und geht durch den Mittelpunkt des gemeinsc7haftlichen
Puncktepaares. Die Mittelpunktle aller Kugeln des Biündels liegen, auf
dieser Ebene."
~. 245.
Vorher wurde der Satz aufgestellt, dass alle Kugeln, welche
zwei gegebene Kugeln orthogonal schneiden, ein Kugelbündel erzeugen. Auf Giund des Satzes 151) ist aber auch bekannt, dass die
Mittelpunkte sämmtlicher Kugeln, welche zwei Kugeln gleichzeitig
orthogonal schneiden, auf der Potenzebene dieser beiden Kugeln liegen.
Besagte Ebene kann, dem vorhergehenden Satze zufolge, nur die Symm e tr i e ebene des Kugelbündels sein.
Weiters wurde auch gefunden, dass ein Kugelbündel als Bestandtheil unendlich vieler Kugelgebüsche anzusehen sei, und dass
die Centra all dieser Kugelgebüsche auf der Potenzachse des Bündels
liegen. Jedes dieser Gebüsche besitzt eine Orthogonalkugel, und diese
muss von sämmtlichen Kugeln des Bündels rechtwinklig geschnitten
werden.
Diese Betrachtung führt zu einer interessanten Eigenschaft.
Nehmen wir nämlich an, es sei p die Potenzachse eines Kugelbündels, und es seien auf derselben zwei Punkte M, und M] als
Mittelpunkte zweier Orthogonalkugeln S, und Ss des Bündels gegeben.
Die Potenzebene P dieser beiden Kugeln steht auf p senkrecht und
enthält die Mittelpunkte aller Kugeln des Bündels.
Nehmen wir einen weiteren beliebigen Punkt M3 auf p an, und
betrachten wir denselben als das Centrum einer dritten Orthogonalkugel S3 des Kugelbündels, so muss die Potenzebene dieser Kugel
und einer der beiden früheren Kugeln S, oder S, wieder die Mittelpunkte aller Kugeln des Bündels enthalten, und kann diese daher nur
die vorher gefundene Ebene P sein.
Nachdem das Gleiche von jeder anderen Orthogonalkugel S'3...
gilt, so folgt, dass die Symmetrieebene P des Kugelbündels
gleichzeitig die gemeinschaftliche Potenzebene aller Orthogonalkugeln des Bündels sei.