Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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Behufs Lösung der gestellten Aufgabe wird man eine Ebene E, Eh
zu bestimmen haben, welche das Hyperboloid nach einem Kegelschnitte
(C, C') so schneidet, dass dessen Horizontalprojection C' durch den
Punkt a' geht, und dass dessen Asymptotenprojectionen den gegebenen
Asymptotenrichtungen Z, und, parallel sind.
Eine Ebene, welche durch den Scheitel des Asymptotenkegels zu
einer das Hyperboloid schneidenden Ebene parallel gelegt wird, schneidet,
wie wir wissen, den Asymptotenkegel in zwei (reellen oder imaginären)
Erzeugenden, welche zu den (reellen oder imaginären) Asymptoten des
ebenen Schnittes parallel sind.
Im vorliegenden Falle sind aber die Richtungen der Horizontalprojectionen der Asymptoten, also auch der Horizontalprojectionen jener
Erzeugenden des Asymptotenkegels durch Z, und 27 gegeben.
Zieht man demgemäß durch 0' die Geraden O'a' oder 6', und
0'3' oder a'n beziehungsweise parallel zu 2, und o, so erhält man
die horizontalen Projectionen zweier Erzeugenden (a,, a') und (a, 6'2)
des Asymptotenkegels, deren verticale Projectionen Oa oder a1 und
Oß oder 6r mittelst der horizontalen DurchstofSpunkte (a, a') und (3, 3')
erhalten werden können.
Legt man durch (,", 6',) und (o, 6',) eine Ebene eVeh, und zu
dieser durch den Punkt (a,a') eine parallele Ebene EEh, so wird die
letztere das Umdrehungshyperboloid in einem Kegelschnitte treffen,
welcher durch den Punkt (a, a') geht, und deren Asymptoten zu den
Kegelerzeugenden (a, a',) und (oQ, 6o') parallel sind.
Die Horizontalprojection dieses Kegelschnittes berührt somit zweimal den Kreis K', geht durch den Punkt a', und die Asymptoten desselben sind parallel zu 6' und 6'2, folglich auch parallel zu Zl und
2'. Durch diese Horizontalprojection wird sonach der verlangte Kegelschnitt dargestellt.
Auf demselben Principe wie die besprochenen Probleme beruhend,
kann nunmehr eine ganze Reihe von Aufgaben über Kegelschnitte,
welche einen gegebenen Kegelschnitt doppelt berühren, gelöst werden.
Auf diese und ähnliche Aufgaben werden wir gelegentlich und insbesondere bei Besprechung anderer Flächen zweiten Grades zurückkommen.
Nebenbei wollen wir hier noch erwähnen, dass in den beiden
letzterörterten Aufgaben statt des dort benützten Kreises selbstverständlich auch eine Ellipse mit der gleichen Berechtigung gegeben sein
kann. Dass sodann diese letztere als Horizontalprojection der Kehlellipse
eines allgemeinen windschiefen Hyperboloides zu betrachten sein wird,
braucht wohl kaum besonders bemerkt zu werden.
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