Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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Eine Ebene EEI, welche durch die Geraden (t,t') und (t1,t')
gelegt wird, schneidet das Rotationshyperboloid in einem Kegelschnitte,
welcher mit den beiden Geraden (t,t') und (t1, t') eine Berührung eingeht, von der ersteren aber speciell im Punkte (a, a') berührt wird.
Die verticale Projeetion dieses Kegelschnittes ist demgemäß ein
Kegelschnitt, welcher die gegebene Hyperbel in zwei Punkten, die
Gerade t im Punkte a und endlich auch die Gerade t, berührt, mithin
den gestellten Bedingungen entspricht.
Nebenbei sei noch erwähnt, dass obige Aufgabe zwei Lösungen
zulasse.
~. 134.
Das Hyperboloid findet auch eine vortheilhafte Verwerthung bei
der Lösung von Problemen, durch welche die Anforderung gestellt
wird, Kegelschnitte zu zeichnen, welche eine Ellipse oder
einen Kreis doppelt berühren, dessen Punkte aber sämrmtlich außerhalb der gegebenen Curve liegen. Einige Beispiele mögen auch in dieser Richtung die nothwendige Erläuterung
des Angedeuteten schaffen.
22. Aufgabe. Gegeben sei ein Kreis K' und außerhalb desselben
drei Punkte a', b' und c'; es ist ein Kegelschnitt zu construieren
und durch seine Achsen zu bestimmen, welcher den Kreis in zwei
Punkten berührt und durch die gegebenen drei Punkte geht.
Den gegebenen Kreis K' betrachten wir als die horizontale Projection des Kehlkreises eines Hyperboloides.
Um überflüssige Constructionen zu vermeiden, denken wir uns
die Projectionsebenen bereits derart transformiert, dass die Projectionsachse, resp. die Grundlinie GG als eine Gerade erscheint, welche zu
der einen von a' (Taf. IX, Fig. 47) aus an K' gezogenen Tangente
g' parallel läuft. Der Grund dieser Annahme wird sofort klar hervortreten. Die verticale Projection der Drehungsachse des Hyperboloides
ist sodann, der gemachten Voraussetzung gemäß, die zu G G normale
Gerade Z, welche durch den Mittelpunkt Z' von K' gezogen werden
kann. Als Kehlkreisebene wählen wir eine beliebige zur horizontalen
Projectionsebene parallele Ebene e,. Besagte Ebene E, schneidet die
Drehachse (Z, Z') in dem Mittelpunkte (0, 0') des Hyperboloides.
Setzen wir weiters noch voraus, der Punkt a' gehöre dem Hyperboloide an und liege überdies in der horizontalen Projectionsebene.
Die verticale Projection a desselben ergibt sich sodann selbstverständlich in der Grundlinie.