Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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boloid in einem Kegelschnitte treffen, welcher durch die Punkte (a, a)
und (b, b') geht, und von der Geraden (t, t') berührt wird.
Die verticale Projection dieses Kegelschnittes ist mithin ein
Kegelschnitt, welcher die Hyperbel doppelt berührt, die Gerade t tangiert und durch die Punkte a und b geht, somit der gestellten Aufgabe geniigt.
Berücksichtigt man, dass die Punkte a und b als Verticalprojectionen je zweier verschiedenen Punkte des Hyperboloides betrachtet
werden können, und dass in jedem dieser Fälle auch an den betreffenden Kegelschnitt in der Ebene eS von s' aus zwei Tangenten möglich
sind, so folgt, dass es 2.2.2 =8 verschiedene Lagen der schneidenden
Ebene E Eh gibt. Nachdem aber, wie man sich leicht überzeugen
kann, diese acht Ebenen gegen die verticale Projectionsebene paarweise symmetrisch sind, ihre Schnitte mit dem Hyperboloid daher
paarweise zusammenfallende verticale Projectionsebenen besitzen, so
folgt, dass die gestellte Aufgabe vier verschiedene Lösungen zulässt.
~. 131.
19. Aufgabe. Eine Hyperbel, zwei Gerade und ein Punkt sind
gegeben; es ist ein Kegelschnitt zu construieren, welcher die Hyperbel in zwei Punkten berührt, die beiden Geraden zu Tangenten
hat, und durch den obbezeichneten Punkt geht.
Diese Aufgabe kann unmittelbar auf die vorhergehende zurückgeführt werden.
Man lege durch die reelle Achse der Hyperbel als Durchmesser
einen Kreis D, und betrachte denselben als Directrix einer polaren
Reciprocität.
Der Hyperbel entspricht sodann polar eine zweite mit derselben
reellen Achse und zwei Asymptoten, welche auf jenen dei ersteren senkrecht stehen. (Siehe Aufgabe 17.) Den beiden Geraden Il und 1, entsprechen zwei Punkte L, und L2, und dem gegebenen Punkte L entspricht eine Gerade 1. Construiert man nun, sowie vorher, einen
Kegelschnitt K', welcher die zweite Hyperbel doppelt berührt, die
Gerade 1 tangiert, und durch die beiden Punkte L, und L, geht;
sucht man hierauf die Polarcurve K zu dem oberwähnten Kegelschnitte,
so wird diese die gegebene Hyperbel doppelt, die beiden Geraden l1
und 1, einfach berühren, und schließlich durch den Punkt L gehen,
mithin allen Bedingungen der gestellten Aufgabe entsprechen. Selbstverständlich gestattet auch diese Aufgabe wieder vier verschiedene
Lösungen.