Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

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4~ Tutte le rette perpendicolari ad uno stesso piano sono
parallele.
Infatti se a, a' sono perpendicolari a 7T, e se la retta parallela
ad a, condotta per un punto Q di a', fosse distinta da a', per Q
passerebbero due rette perpendicolari a 7T, cio che e assurdo.
50 Tutti i piani perpendicolari ad una stessa retta sono
paralleli.
Infatti se a, T sono due piani perpendicolari ad r, e se il
piano parallelo ad a, condotto per un punto C di T, fosse distinto da T, per C passerebbero due piani perpendicolari ad r,
cio che e assurdo.
69. Definizione. - Le sezioni normali di un diedro sono quelle
(49, D.) fatte da piani perpendicolari allo spigolo.
Corollario. 1~ Tutte le sezioni normali di uno stesso
diedro, convesso o concavo, sono uguali fra loro.
Infatti i piani di due sezioni normali sono paralleli (68, C. 5~),
e sono uguali le sezioni fatte da piani paralleli (49, C.).
Teorema 1~ - Dati due diedri qualunque, se il
primo e maggiore, uguale, o minore del secondo,
una sezione normale del primo e pure maggiore,
uguale, o rinore di una sezione normale del secondo,
e viceversa.
Siano P.AB, P.'A'B' due sezioni normali dei diedri r.AB, r.A'B',
convessi o concavi, Se r.AB _ r/.A'B', facendo coincidere i due
diedri in modo che P' cada in P, il piano
dell'angolo P.AB, essendo perpendicolare
ad r in P, deve coincidere col piano
dell'angolo P.A'B' (68, T. 1~), dunque
P'A', P'B' devono coincidere con PA, PB,
e percio deve essere P.AB _P.'A'B'.
Se r.AB > r.'A'B', ponendo lo spigolo r' sullo spigolo r, il
punto P' nel punto P e la faccia r'A' i
sulla faccia rA, 1'altra faccia r'B /'
viene compresa in r.AB (56, D.), e
il piano di P.'A'B' viene a coinci-
dere con quello di P.AB (68, T. 1~),
quindi P'A' coincide con PA, e P'B'
viene compresa in P.AB, dunque P.AB > P.'AB'.