Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

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Dato un diedro qualunque, prendendo 1, 2, 3........ parti di
piano in esso comprese, veniamo a dividerlo in 2, 3, 4,.......
parti, che sono diedri consecutivi (52, D. 3a).
Teorema 1~ - Due grandezze elementari uguali
sono sempre divisibili in uno stesso numero di parti
rispettivamente uguali, prese nello stesso ordine, e
viceversa.
Dati due segmenti AB, A'B' uguali, se A'B' si divide in tre
segmenti consecutivi prendendo due suoi punti C'G, C',, facendo
coincidere A'B' con AB i punti C.', C' A C, C, R
prendono le posizioni C1, C2, che divi-
dono AB in parti prese nello stesso or-
dine e rispettivamente uguali a quelle in A' C c '
cui e diviso A'B', essendo AC - A'C', CA- C' C'G, CB - CB'.
Viceversa, se AB, A'B' sono divise dai punti C1, CG e C'1, C'2, e
se ACi - A'C'1, CAC =- C'GC', CB = C'B', facendo coincidere
A' con A e C'1 con C, necessariamente C' coincidera con C2
e B' con B, dunque A'B' - AB.
Il teorema si dimostra analogamente in ogni altro caso.
Teorema 2~ - Due grandezze elementari sono
uguali, se possono dividersi in uno stesso numero di
parti rispettivamente uguali.
Siano AB, A'B' due segmenti divisi in uno stesso numero
di parti rispettivamente uguali, e supponiamo che le loro divisioni differiscano solamente per l'ordine di due segmenti consecutivi CD, DE di AB, ed E'D', D'C' di A'B', essendo AC - AE',
EB - C'B' e CD D'C', DE E'D'. A, _,
Evidentemente CE, C'E' sono due segmenti ugualmente divisi da D e da D',
dunque (54, T. 1~) CE - C'E' E'', A' C "
percio AB, A'B' sono ugualmente divisi dai punti C, E ed E',
C', dunque AB = A'B' (54, T. 1~). Rimane cosi dimostrato il
teorema nel caso in cui le due divisioni', in parti rispettivamente uguali, differiscano solamente per l'ordine di due
parti consecutive; ora e chiaro che dato un certo ordine