Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

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P, una P1B insieme ad A1B1 si trova da uno stesso lato di A2B2,
ed insieme ad una parte P2Bc di A1B, si trova da uno stesso
lato di CD. Se AB incontra A1B, il punto di incontro deve
essere comune alle due parti P1B, P2B1. Su P2B1 prendiamo
un punto Cm in modo che sia Cm.PlP2<P.B.B. Nel triangolo
CPJP2 abbiamo P CP2- +P2.CmPi uguale alla differenza di
due retti e di Cm.P1P2; ma per ipotesi P1.CtP,-+P2. CmPP e
uguale alla differenza di due retti e di P.B 2C, dunque
PA.B2Gm-C.PjP2, equindi P1. B2C<P,.BB, e P1B, cadendo
dentro l'angolo P.P P,, incontra necessariamente A.B, in un
punto di P2Cm.
N. XX. (Pag. 31). Al postulato di Euclide si pub sostituire
l'altro:
Quando un piano scorre su se stesso, strisciando
lungo un asse, esiste almeno uno dei suoi punti,
non' situato sull'asse, che si muove sopra una retta.
Un piano Tr scorra su se stesso strisciando lungo l'asse DE,
e un suo punto C, situato fuori dell'asse, si mova sopra una
retta FG. Chiamiamo CA la distanza di C
7, / 7 dall'asse DE, e chiamiamo C' la posizione che
/\,p / prende C quando A viene in B col movimento
c/= A\~ / accennato. Evidentemente A.CD- B.C'A,
A/ 7X / quindi B.C'A retto; dipiui C.AF -C'.BF,
F / quindi C.AC' +-C'.BC e uguale a due retti,
e la somma degli angoli del quadrangolo
ABC'C 6 quattro retti. I due triangoli rettangoli ABC, ABC'
sono uguali, perche hanno comune il lato AB mentre AC BC',
dunque C'A CB e A.BG-CB.AC. Sottraendo questi due angoli
uguali dagli angoli retti A.BC, B.AC' si trova che A.CC'- B.CC',
percio i due triangoli CAC', C'BC sono uguali, essendo uguali
i lati AGC BC'; C', BC e gli angoli compresi, ne deduciamo
che C.C'A- C.CB; ma la loro somma e due retti, dunque
ciascuno e un angolo retto, ed e costruito un quadrangolo
ABC'C che ha gli angoli retti ed uguali i lati opposti. Abbiamo
poi veduto (N. XIX, T. 3~) che cio basta per dedurre rigorosamente tutta l'ordinaria teoria delle parallele,